Đáp án:
`a,`
`text{Xét ΔMIH và ΔMIK có :}`
`hat{IHM} = hat{IKM} = 90^o`
`text{IM chung}`
`hat{IMH} = hat{IMK}` `text{(giả thiết)}`
`->` `text{ΔMIH = ΔMIK (cạnh huyền - góc nhọn)}`
$\\$
$\\$
$b,$
`text{Vì ΔMIH = ΔMIK (chứng minh trên)}`
`->` `text{HI = KI (2 cạnh tương ứng)}`
`->` `text{I nằm trên đường trung trực của HK (1)}`
$\\$
`text{Vì ΔMIH = ΔMIK (chứng minh trên)}`
`->` `text{MH = MK (2 cạnh tương ứng)}`
`->` `text{M nằm trên đường trung trực của HK (2)}`
$\\$
`text{Từ (1) và (2)}`
`->` `text{IM là đường trung trực của HK}`
$\\$
$\\$
$c,$
`text{Ta có : HI = KI (chứng minh trên)}`
`->` `text{ΔIHK cân tại I}`
$\\$
$\\$
$d,$
`text{Gọi O là giao của NE và PF (*)}`
$\\$
`text{Ta có :}` \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat{IMN}+\widehat{NMO}=180^o\\ \widehat{IMP} + \widehat{PMO}=180^o\end{array} \right.\) `text{(2 góc kề bù)}`
`text{mà}` `hat{IMN} = hat{IMP}` `text{(giả thiết)}`
`-> hat{NMO} = hat{PMO}`
`text{Xét ΔNMO và ΔPMO có :}`
`text{OM chung}`
`text{MN = MP (Vì ΔMNP cân tại M)}`
`hat{NMO} = hat{PMO}` `text{(chứng minh trên)}`
`->` `text{ΔNMO = ΔPMO (cạnh - góc - cạnh)}`
`-> hat{NOM} = hat{PMO}` `text{(2 góc tương ứng)}`
`text{hay OM là tia phân giác của}` `hat{O} (3)}`
$\\$
`text{Vì ΔNMO = ΔPMO (chứng minh trên)}`
`->` `text{ON = OP (2 cạnh tương ứng)}`
`text{Vì ΔMNP cân tại M}`
`text{MI là đường phân giác}`
`->` `text{I là trung điểm của NP}`
`text{Xét ΔNOI và ΔPOI có :}`
`text{ON = OP (chứng minh trên)}`
`text{OI chung}`
`text{NI = PI (Vì I là trung điểm của NP)}`
`->` `text{ΔNOI = ΔPOI (cạnh - cạnh - cạnh)}`
`-> hat{NOI} = hat{POI}` `text{(2 góc tương ứng)}`
`text{hay}` `text{OI là tia phân giác của}` `hat{O} (4)`
$\\$
`text{Từ (3) và (4)}`
`->` `text{O,M,I thẳng hàng}`
`text{hay MI đi qua O (**)}`
$\\$
`text{Từ (*) và (**)}`
`->` `text{NE,MI,PM đồng quy tại O}`
