Đáp án:

Giải thích các bước giải:

2) KĨ thuật chọn điểm rơi

1) 

Áp dụng BDT cosi, ta có

$ \displaystyle A=a+\frac{1}{a}=\frac{a}{4}+\frac{1}{a}+\frac{3a}{4}\ge 2\sqrt{\frac{a}{4}\cdot \frac{1}{a}}+\frac{3a}{4}\ge 1+\frac{3.2}{4}=\frac{5}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $ \displaystyle a=2$. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là $ \displaystyle \frac{5}{2}$.

Cái này phải để ý tới điều kiện a ≥ 2 nha

Phần 4:

1)

Áp dụng bất đẳng thức Cosi dạng $ \sqrt{xy}\le \frac{x+y}{2}$ cho hai số không âm ta có:

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\sqrt{a+b}=\sqrt{\frac{3}{2}}.\sqrt{\left( a+b \right).\frac{2}{3}}\le \sqrt{\frac{3}{2}}.\frac{a+b+\frac{2}{3}}{2}\\\sqrt{b+c}=\sqrt{\frac{3}{2}}.\sqrt{\left( b+c \right).\frac{2}{3}}\le \sqrt{\frac{3}{2}}.\frac{b+c+\frac{2}{3}}{2}\\\sqrt{c+a}=\sqrt{\frac{3}{2}}.\sqrt{\left( c+a \right).\frac{2}{3}}\le \sqrt{\frac{3}{2}}.\frac{c+a+\frac{2}{3}}{2}\end{array} \right.$

⇒ $ \displaystyle \sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\le \sqrt{\frac{3}{2}}.\frac{2\left( a+b+c \right)+3.\frac{2}{3}}{2}=\sqrt{6}$

Áp dụng bất đẳng thức Cosi dạng $ \displaystyle \sqrt[3]{xyz}\le \frac{x+y+z}{3}$ cho các số thực dương ta được

$ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\sqrt[3]{a+b}=\sqrt[3]{\frac{9}{4}}.\sqrt[3]{\left( a+b \right).\frac{2}{3}.\frac{2}{3}}\le \sqrt[3]{\frac{9}{4}}.\frac{a+b+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}}{3}\\\sqrt[3]{b+c}=\sqrt[3]{\frac{9}{4}}.\sqrt[3]{\left( b+c \right).\frac{2}{3}.\frac{2}{3}}\le \sqrt[3]{\frac{9}{4}}.\frac{b+c+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}}{3}\\\sqrt[3]{c+a}=\sqrt[3]{\frac{9}{4}}.\sqrt[3]{\left( c+a \right).\frac{2}{3}.\frac{2}{3}}\le \sqrt[3]{\frac{9}{4}}.\frac{c+a+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}}{3}\end{array} \right.$

Suy ra $ \displaystyle \sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{b+c}+\sqrt[3]{c+a}\le \sqrt[3]{\frac{9}{4}}.\frac{2\left( a+b+c \right)+4}{3}=\sqrt[3]{18}$