1) Xét $∆ABE$ và $∆ACF$ có:

$\widehat{A}:$ góc chung

$\widehat{E} = \widehat{F} = 90^o$

Do đó $∆ABE\sim ∆ACF\, (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{AE}{AF}= \dfrac{AB}{AC}$

$\Rightarrow \dfrac{AE}{AB} = \dfrac{AF}{AC}$

Xét $∆AEF$ và $∆ABC$ có:

$\widehat{A}:$ góc chung

$\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{AF}{AC}$ $(cmt)$

Do đó $∆AEF\sim ∆ABC\, (c.g.c)$

Bằng cách chứng minh tương tự, ta được:

$∆BDF\sim ∆BAC$

$∆CDE\sim ∆CAB$

Ta có:

$\widehat{AEF} = \widehat{ECF} + \widehat{EFC}$

mà $\widehat{AEF} = \widehat{ABC}$ $(∆AEF\sim ∆ABC)$

$\widehat{ECF} =\widehat{ACF} =\widehat{ABE}$ (cùng phụ $\widehat{BAC}$)

nên $\widehat{ABC} = \widehat{ABE} + \widehat{EFC}$

Lại có:

$\widehat{ABC} = \widehat{ABE} + \widehat{EBC}$

$\Rightarrow \widehat{EFC} = \widehat{EBC}$ $(1)$

Tương tự, ta có:

$\widehat{BDF} = \widehat{DFC} + \widehat{DCF}$

$\to \widehat{BAC} = \widehat{DFC} + \widehat{DAB}$

$\to \widehat{DFC} = \widehat{DAC}$ $(2)$

Mặt khác:

$\widehat{EBC} = \widehat{DAC}$ (cùng phụ $\widehat{ACB}$ $(3)$

$(1)(2)(3)\Rightarrow \widehat{DFC} = \widehat{EFC}$

$\Rightarrow FH$ là phân giác của $\widehat{DFE}$

Chứng minh tương tự, ta được:

$EH$ là phân giác của $\widehat{DEF}$

$DH$ là phân giác của $\widehat{EDF}$

$\Rightarrow H$ là giao điểm 3 đường phân giác của $∆DEF$

2) Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy - Schwarz$ dạng $Engel$ ta được:

$a^2 + b^2 + c^2 \geq \dfrac{(a + b + c)^2}{3}$ $(1)$

Áp dụng bất đẳng thức $AM - GM$ ta được

$\dfrac{[(p - a) + (p - b)+(p-c)]^3}{27} \geq (p-a)(p-b)(p-c)$

$\Leftrightarrow \dfrac{p^3}{27} \geq (p-a)(p-b)(p-c)$

$\Leftrightarrow \dfrac{p^4}{27} \geq p(p-a)(p-b)(p-c)$

$\Leftrightarrow \dfrac{p^2}{3\sqrt3} \geq \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$\Leftrightarrow \dfrac{p^2}{3\sqrt3} \geq S$

$\Leftrightarrow \dfrac{p^2}{3} \geq \sqrt3S$

$\Leftrightarrow \dfrac{4p^2}{3}\geq 4\sqrt3S$

$\Leftrightarrow \dfrac{(2p)^2}{3} \geq 4\sqrt3S$

$\Leftrightarrow \dfrac{(a + b + c)^2}{3} \geq 4\sqrt3S$ $(2)$

$(1)(2)\Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 \geq 4\sqrt3S$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c \Leftrightarrow∆ABC$ đều

_______________________________________________

Bất đẳng thức vừa chứng minh:

$+)\quad a^2 + b^2 + c^2 \geq 4\sqrt3S$

Bất đẳng thức $Weizenbock$

Ngoài ra, ta có:

$+)\quad 2(ab + bc + ca) - (a^2 + b^2 + c^2)\geq 4\sqrt3S$

Bất đẳng thức $Hadwiger-Finsler$

$+)\quad 9R^2 \geq a^2 + b^2 + c^2$

Bất đẳng thức $Leibniz$