Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Bài này không khó, chỉ sợ làm xong bạn không hiểu thôi :v
Đánh giá bằng BĐT:
ĐKXĐ: $x \geq 0$
Với mọi số thực không âm $x$, ta luôn có:
$(\sqrt{x}-1)^4 \geq 0$
$⇔x^2-4x\sqrt{x}+6x-4\sqrt{x}+1 \geq 0$
$⇔ 3x^2+10x+3 \geq 2(x^2+4x\sqrt{x}+6x+4\sqrt{x}+1)$
$⇔(x+3)(3x+1) \geq 2(\sqrt{x}+1)^2(x+1)$
$⇔\dfrac{2}{(x+3)(3x+1)} \leq \dfrac{1}{(\sqrt{x}+1)^2(x+1)}$
Áp dụng vào bài toán:
Ta có:
$\left( \dfrac{1}{\sqrt{x+3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3x+1}}\right)^2 \leq 2\left(\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{3x+1} \right)$
$⇔\left( \dfrac{1}{\sqrt{x+3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3x+1}}\right)^2 \leq \dfrac{(4x+4).2}{(x+3)(3x+1)} \leq \dfrac{4x+4}{(\sqrt{x}+1)^2(x+1)}$
$⇔\left( \dfrac{1}{\sqrt{x+3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3x+1}}\right)^2 \leq \dfrac{4}{(\sqrt{x}+1)^2}$
$⇔\dfrac{1}{\sqrt{x+3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3x+1}} \leq \dfrac{2}{\sqrt{x}+1}$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $x=1$
Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất $x=1$
