c) Ta có: $x^3+ax+b=(x^3-2x^2+x)+(2x^2-4x+2)+3x-2+ax+b$
$=x(x-1)^2+2(x-1)^2+(a+3)x+(b-2)$
Ta thấy:
$x(x-1)^2+2(x-1)^2$ chia hết cho $(x-1)^2$
Suy ra, để đa thức ban đầu chia hết cho $(x-1)^2$ thì $(a+3)x+(b-2)$ phải chia hết cho $(x-1)^2$
Do $(a+3)x+(b-2)$ có bậc 1 mà $(x-1)^2$ có bậc 2 nên: $(a+3)x+(b-2)=0$∀x
⇒$\left \{ {{a+3=0} \atop {b-2=0}} \right.
⇔$\left \{ {{a=-3} \atop {b=2}} \right.$
d) Ta có: $A= x+ \frac{1}{x+2}=(x+2)+\frac{1}{x+2}-2$
Sử dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương (x+2) và $\frac{1}{x+2}$ ta được:
$(x+2)+\frac{1}{x+2}≥2\sqrt{(x+2).\frac{1}{x+2}}=2$
Dấu "=" xảy ra ⇔ $(x+2)=\frac{1}{x+2}⇔(x+2)^2=1 $ ⇔\(\left[ \begin{array}{l}x=-1\\x=-3(loại vì x>-2)\end{array} \right.\)
Suy ra: A≥ 2-2 =0
Vậy giá trị nhỏ nhát của A là 0 tại x=-1
