Xét $P=\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^n+1}+\frac{1}{2^n+2}+...+\frac{1}{2^{n+1}-1}$ với n là số tự nhiên
Số số hạng của P là $(2^{n+1}-1-2^n).1+1=2^n.(2-1)=2^n$
Vì $2^n<2^n+1<...<2^{n+1}-1<2^{n+1}$ nên $\frac{1}{2^n}>\frac{1}{2^n+1}>\frac{1}{2^n+2}>...>\frac{1}{2^{n+1}-1}>\frac{1}{2^{n+1}}$
Suy ra:$2^n. \frac{1}{2^n} >P>2^n.\frac{1}{2^{n+1}}$
$ \Leftrightarrow 1>P>\frac{1}{2}$(1)
Có:$A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^{100}-1}$
$=1+(\frac{1}{2}+\frac{1}{3})+(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7})+...+(\frac{1}{2^{99}}+\frac{1}{2^{99}+1}+...+\frac{1}{2^{100}-1})$
Từ (1) suy ra:$100.1>A>100.\frac{1}{2}$ $\leftrightarrow 100>A>50$ (đpcm)
