Đáp án:
$a,$
Xét `ΔABK` và`ΔIBK` có :
`hat{ABK} = hat{IBK}` (giả thiết)
`BK` chung
`BA = BI` (giả thiết)
`-> ΔABK = ΔIBK` (cạnh - góc - cạnh)
$\\$
$\\$
$b,$
Vì `BA = BI` (giả thiết)
`-> ΔABI` cân tại `B`
`-> hat{BAI} = hat{BIA}`
$\\$
Ta có : `hat{HAI} + hat{BIA} = 90^o`
Ta có : `hat{IAC} + hat{BAI} = 90^o`
mà `hat{BIA} = hat{BAI}`
`-> hta{HAI} = hat{IAC}`
hay `AI` là tia phân giác của `hat{HAC}`
$\\$
$\\$
$c,$
Gọi `D` là giao của `FK` cà `AI`
$\\$
Vì `ΔABK = ΔIBK` (chứng minh trên)
`-> hat{BAK} = hat{BIK} = 90^o` (2 góc tương ứng)
Ta có : `AH⊥BC, KI⊥BC`
$→ AH//KI$
`-> hat{FAD} = hat{KID}` (2 góc tương ứng)
$\\$
Vì `ΔABI` cân tại `B`
`BD` là đường phân giác
`-> BD` là đường trung tuyến
$\\$
Xét `ΔAFG` cà `ΔIKD` có :
`AD = DI` (Vì `BD` là đường trung tuyến)
`hat{FDA} = hat{KDI}` (2 góc đối đỉnh)
`hat{FAD} = hat{KID}` (chứng minh trên)
`-> ΔAFG = ΔIKD` (góc - cạnh - góc)
`-> AF = KI`
$\\$
Xét `ΔKIC` vuông tại `I` có :
`KC` là cạnh lớn nhất
`-> KC > KI`
mà `AF = KI`
`-> AF < KC`
$\\$
$\\$
$d,$
Kéo dài `IF` sao cho `IF` cắt `AB` tại `G`
Bạn c/m được `ΔFDI = ΔKDA` (cạnh - góc - cạnh)
`-> hat{FID} = hat{DAK}` (2 góc tương ứng)
mà 2 góc này ở vị trí so le trong
$→ GI//AC$
mà `AC⊥AB`
`-> GI⊥AB`
$\\$
Áp dụng định lí tổng 3 góc cho `ΔABC` có :
`hat{C} = 180^o - (hat{A} + hat{B}) = 180^o - 90^o - 60^o = 30^o`
$\\$
Áp dụng định lí tổng 3 góc cho `ΔBGI` có :
`hat{I_1} = 180^o - (hat{B} + hat{BGI})= 180^o - 60^o - 90^o = 30^o`
$\\$
Bạn chứng minh được `ΔMAI = ΔCAI` (cạnh - góc - cạnh)
`-> hat{HMI} = hat{C} = 30^o` (2 góc tương ứng)
$\\$
Áp dụng định lí tổng 3 góc cho `ΔHMI` có :
`hat{I_2} = 180^o - (hat{MHI} + hat{HMI}) = 180^o - 90^o - 30^o = 60^o`
$\\$
Ta có : `hat{MIF} = hat{I_1} + hat{I_2} = 30^o + 60^o = 90^o`
hay `IM⊥IF`
