Giải thích các bước giải:

a) Xét hai tam giác AMB và CMD có:

$AM = MC$ (vì BM là trung tuyến của tam giác ABC)

$\widehat{AMB}=\widehat{CMD}$ (hai góc đối đỉnh)

$MB = MD$ (gt)

Nên $ΔAMB = ΔCMD$ (c - g - c)

Do đó $\widehat{ABM}=\widehat{CDM}$ (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong

Vậy $CD // AB$

b) Tam giác BCD có:

+, CM là trung tuyến (vì $MB = MD$)

+, DN là trung tuyến (vì N là trung điểm của BC)

Mà CM cắt DN tại I

Vậy I là trọng tâm của tam giác BCD.

Do đó $CM=3.IM$ (vì CM là trung tuyến)

Mà $CM=\dfrac12AC$ (vì $AM = MC$)

Nên $\dfrac12AC=3.IM$

$=>AC=3.IM:\dfrac12$

$=>AC=(3:\dfrac12).IM$

$=>AC=6.IM$

Vậy $AC=6.IM$

c) Vì $AB//CD$ (cmt) nên $BE//CD$

Xét hai tam giác CND và BNE có:

$\widehat{EBN}=\widehat{DCN}$ (vì $BE//CD$; so le trong)

$BN=NC$ (vì N là trung điểm của BC)

$\widehat{BNE}=\widehat{CND}$ (hai góc đối đỉnh)

Nên $ΔCND=ΔBNE$ (g - c - g)

Do đó $BE=CD$ (hai cạnh tương ứng)

Mà $AB=CD$ (vì $ΔAMB = ΔCMD$)

Vậy $BE=AB(=CD)$

d) Tam giác ABC có:

+, AN là trung tuyến (vì $BN = NC$)

+, BM là trung tuyến (vì $MA=MC$)

Mà MB cắt AN tại K

Nên K là trọng tâm của tam giác ABC.

Do đó CK đi qua trung điểm AB

Vậy C, K và trung điểm của AB thẳng hàng

e) Tam giác ADE có:

+, AN là trung tuyến (vì $NE = ND$ do $ΔCND=ΔBNE$)

+, DB là trung tuyến (vì $BE=AB$)

Mà DB cắt AN tại K

Nên K là trọng tâm của tam giác ADE.

Mà EK cắt AD tại H

Do đó EH là trung tuyến của tam giác ADE

$=>AH=HD$

Vậy H là trung điểm của AD.

Đáp án:

$\\$

`a,`

Có : `BM` là đường trung tuyến

`-> M` là trung điểm của `AC`

Xét `ΔAMB` và `ΔCMD` có :

`hat{AMB} = hat{CMD}` (2 góc đối đỉnh)

`AM = CM` (Do `M` là trung điểm của `AC`)

`MB = MD` (giả thiết)

`-> ΔAMB = ΔCMD` (cạnh - góc - cạnh)

`-> hat{MAB} = hat{MCD}` (2 góc tương ứng)

mà 2 góc này ở vị trí so le trong

$→ AB//CD$

$\\$

$\\$

$b,$

Có : `MD=MB` (giả thiết)

`-> M` là trung điểm của `BD`

`-> CM` là đường trung tuyến của `ΔBCD`

Có : `N` là trung điểm của `BC`

`-> DN` là đường trung tuyến của `ΔBCD`

Xét `ΔBCD` có :

`CM` là đường trung tuyến

`DN` là đường trung tuyến

`CM` cắt `DN`  tại `I`

`-> I` là trọng tâm của `ΔBCD`

$\\$

Do `I` là trọng tâm của `ΔBCD`

`CM` là đường trung tuyến ứng với `BD`

`-> IM = 1/3 CM`

mà `CM = 1/2 AC` (Do `M` là trung điểm của `AC`)

`-> IM = 1/3 . 1/2 AC`

`-> IM = 1/6 AC`

`-> AC = 6IM`

$\\$

$\\$

`c,`

Do `ΔAMB= ΔCMD` (chứng minh trên)

`-> AB =CD` (2 cạnh tương ứng)

Có : $DC//AB$

hay $DC//AE$

`-> hat{DCN} = hat{EBN}` (2 góc so le trong)

Xét `ΔDCN` và `ΔEBN` có :

`hat{DCN} = hat{EBN}` (chứng minh trên)

`CN = BN` (Do `N` là trung điểm của `BC`)

`hat{DNC} = hat{ENB}` (2 góc đối đỉnh)

`-> ΔDCN = ΔEBN` (góc - cạnh  - góc)

`-> DC = BE` (2 cạnh tương ứng)

mà `DC = AB` (chứng minh trên)

`-> AB =BE (=DC)`

$\\$

$\\$

`d,`

Có : `N` là trung điểm của `BC`

`-> AN` là đường trung tuyến của `ΔABC`

Xét `ΔABC` có :

`BM` là đường trung tuyến

`AN` là đường trung tuyến

`BM` cắt `AN` tại `K`

`-> K` là trực tâm của `ΔABC`

`-> CK` là đường trung tuyến của `ΔABC`

`-> CK` đi qua trung điểm của `AB`

hay `K` là trung điểm của `AB` thẳng hàng

$\\$

$\\$

`e,`

Do `ΔDCN = ΔEBN` (chứng minh trên)

`-> DN = EN` (2 cạnh tương ứng)

`-> N` là trung điểm của `DE`

`-> AN` là đường trung tuyến của `ΔADE`

Có : `AB = BE` (chứng minh trên)

`->B` là trung điểm của `AE`

`-> DB` là đường trung tuyến của `ΔADE`

Xét `ΔADE` có :

`AN` là đường trung tuyến

`DB` là đường trung tuyến

`AN` cắt `DB` tại `K`

`-> K` là trực tâm của `ΔADE`

mà `EK` cắt `AD` tại `H`

`-> EH` là đường trung tuyến của `ΔADE`

`-> H` là trung điểm của `AD`