a) Do đường tròn tâm (I) nội tiếp $\Delta ABC\Rightarrow BI$ là phân giác trong góc B (1)
$(K)$ là đường tròn bàng tiếp góc A(là đường tròn có tâm là giao của đường phân giác trong góc A và 2 đường phân giác ngoài của góc B và C) nên $BK$ là phân giác ngoài của góc B (2)
Từ (1) và (2) suy ra $BI\bot BK$ (đường phân giác trong và ngoài của một góc vuông góc với nhau- tính chất)
$\Rightarrow \widehat{IBK}=90^o$ chứng minh tương tự $\widehat{ICK}=90^o$
$\Rightarrow$ tứ giác $IBKC$ có $\widehat{IBK}+\widehat{ICK}=180^o$
$\Rightarrow IBCK$ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính $(IK)$ có O là trung điểm của $IK$
nên $IBCK$ nội tiếp (O) (đpcm)
b) $\widehat{ACI}=\widehat{ICB}$ (do CI là phân giác góc C)
$\widehat{OCK}=\widehat{OKC}$ (do OC=OK= bán kính (O) nên $\Delta OKC$ cân đỉnh O)
Mà $\widehat{ICB}=\widehat{OKC}$ ( do cùng cộng với $\widehat{BCK}$ bằng $90^o$)
$\Rightarrow \widehat{ACI}=\widehat{OCK}$
$\Rightarrow \widehat{ACO}=\widehat{ACI}+\widehat{ICO}=\widehat{OCK}+\widehat{ICO}=\widehat{IOK}=90^o$
$\Rightarrow AC\bot CO$ và $C\in(O)\Rightarrow AC$ là tiếp tuyến (O)
c) Gọi $AK\cap BC=D$
BD=12cm, $AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=16$
$\Delta ABD$ có BI là phân giác $\widehat B$ theo tính chất đường phân giác
$\dfrac{IA}{ID}=\dfrac{BA}{BD}=\dfrac{20}{12}=\dfrac{5}{3}$
$\Rightarrow \dfrac{IA+ID}{ID}=\dfrac{5+3}{5}\Rightarrow\dfrac{AD}{ID}=\dfrac{8}{3}$
$\Rightarrow ID=\dfrac{3.16}{8}=6$cm
$\Delta IBD$ có: $\cos\widehat{BID}=\dfrac{ID}{IB}=\dfrac{1}{\sqrt5}$ (IB=$\sqrt{ID^2+BD^2}=6\sqrt5$)
$\Delta IBK$ có: $\dfrac{IB}{IK}=\cos\widehat{BIK}=\cos\widehat{BID}=\dfrac{1}{\sqrt5}$
$\Rightarrow IK=\sqrt5IB=30\Rightarrow R=OI=15$
