Đáp án:
$a)m \ne \pm \dfrac{1}{2}\\ b)m=\pm \dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$c)\circledast (1)$ vô nghiệm
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} m<-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\\m>\dfrac{\sqrt{3}}{3} \end{array} \right.$
$\circledast (1)$ có hai nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} m \ne \pm \dfrac{1}{2} \\ -\dfrac{\sqrt{3}}{3} <m<\dfrac{\sqrt{3}}{3} \end{array} \right.\\ d)m=-\dfrac{1}{2}$
Giải thích các bước giải:
$(1-4m^2)x^2-2mx-1=0(1)$
$a)$PT$(1)$ là PT bậc $2$
$\Leftrightarrow (1-4m^2) \ne 0\\ \Leftrightarrow (1-2m)(1+2m) \ne 0\\ \Leftrightarrow m \ne \pm \dfrac{1}{2}$
$b)$PT $(1)$ có nghiệm kép
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} (1-4m^2) \ne 0\\ \Delta'=0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} m \ne \pm \dfrac{1}{2} \\ m^2+1-4m^2=0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} m \ne \pm \dfrac{1}{2} \\ 1-3m^2=0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} m \ne \pm \dfrac{1}{2} \\ m=\pm \dfrac{\sqrt{3}}{3}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow m=\pm \dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$c)\circledast (1)$ vô nghiệm
$+)m = \pm \dfrac{1}{2}\\ \bullet \ m=- \dfrac{1}{2}; (1) \Leftrightarrow x-1=0\Leftrightarrow x=1(L)\\ \bullet \ m=\dfrac{1}{2}; (1) \Leftrightarrow -x-1=0\Leftrightarrow x=-1(L)\\ +) m = \ne \pm \dfrac{1}{2}$
$(1)$ vô nghiệm
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} m = \ne \pm \dfrac{1}{2} \\ \Delta'<0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} m \ne \pm \dfrac{1}{2} \\ 1-3m^2<0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} m \ne \pm \dfrac{1}{2} \\ m^2>\dfrac{1}{3}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} m \ne \pm \dfrac{1}{2} \\ \left[\begin{array}{l} m<-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\\m>\dfrac{\sqrt{3}}{3} \end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} m<-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\\m>\dfrac{\sqrt{3}}{3} \end{array} \right.$
$\circledast (1)$ có hai nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} (1-4m^2) \ne 0 \\ \Delta'>0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} m \ne \pm \dfrac{1}{2} \\ 1-3m^2>0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} m \ne \pm \dfrac{1}{2} \\ m^2<\dfrac{1}{3}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} m \ne \pm \dfrac{1}{2} \\ -\dfrac{\sqrt{3}}{3} <m<\dfrac{\sqrt{3}}{3} \end{array} \right.\\ d)x(x-1)=x^2-2x+1(*)\\ \Leftrightarrow x^2-x=x^2-2x+1\\ \Leftrightarrow x-1=0\\ \Leftrightarrow x=1$
Để PT $(1)$ tương đương với phương trình $(*)$ thì $(1)$ phải có nghiệm duy nhất là $x=1$
$(1)$ có nghiệm $x=1$
$\Leftrightarrow (1-4m^2).1^2-2m-1=0\\ \Leftrightarrow -4m^2-2m=0\\ \Leftrightarrow 2m^2+m=0\\ \Leftrightarrow m(2m+1)=0\\ \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} m=0\\m=-\dfrac{1}{2} \end{array} \right.$
Thử lại ta thấy chỉ có trường hợp $m=-\dfrac{1}{2}$ thoả mãn.
