Ta có:
$BM = MC$
$AN = NC$
$\Rightarrow MN$ là đường trung bình
$\Rightarrow MN//AB;\, AB = 2MN$
$\Rightarrow \widehat{MNC} =\widehat{BAC}$ (đồng vị)
Ta lại có:
$\widehat{BAC} + \widehat{HBA}=90^o \, (BH\perp AC)$
$\widehat{MNC} + \widehat{ONM} = \widehat{ONC} = 90^o \, (ON\perp AC)$
Do đó:
$\widehat{HBA} = \widehat{ONM}$
Chứng minh tương tự, ta được:
$\widehat{HAB} = \widehat{OMN}$
Xét $∆ABH$ và $∆MNO$ có:
$\widehat{HBA} = \widehat{ONM}$ $(cmt)$
$\widehat{HAB} = \widehat{OMN}$
Do đó $∆ABH\sim ∆MNO\, (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{HA}{OM} = \dfrac{AB}{MN} = 2$
Ta lại có:
$\dfrac{AG}{GM} = 2$ (tính chất trọng tâm)
$\Rightarrow \dfrac{HA}{OM} = \dfrac{AG}{GM}$
Xét $∆HAG$ và $∆OMG$ có:
$\dfrac{HA}{OM} = \dfrac{AG}{GM}$
$\widehat{HAG} = \widehat{OMG}$ (so le trong)
Do đó $∆HAG \sim ∆OMG\, (c.g.c)$
$\Rightarrow \widehat{HGA} = \widehat{OGM}$
mà $A,G,M$ thẳng hàng
nên $H, G, O$ thẳng hàng
