Từ $B$ dựng $\widehat{DBE}$ sao cho $\widehat{DBE} = \widehat{CAD} \, (E \in AD)$
Xét $ΔCAD$ và $ΔEBD$ có:
$\widehat{CAD} = \widehat{DBE}$ (cách dựng)
$\widehat{CDA} = \widehat{EDB}$ (đối đỉnh)
Do đó $ΔCAD \sim ΔEBD \, (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{CD}{DE} = \dfrac{AD}{DB}$
$\Rightarrow DC.DB = AD.DE$ $(1)$
Xét $ΔCAD$ và $ΔEAB$ có:
$\widehat{CAD} = \widehat{EAB}\, (gt)$
$\widehat{ACD} = \widehat{AEB} \, (ΔCAD \sim ΔEBD)$
Do đó $ΔCAD\sim ΔEAB \, (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AC}{AE}$
$\Rightarrow AB.AC = AD.AE$ $(2)$
Lấy $(2) - (1)$ ta được:
$AB.AC - BD.DC = AD.AE - AD.DE = AD(AE - DE) = AD.AD = AD^2$
Vậy $AD^2 = AB.AC - BD.DC$
