Áp dụng cthuc hạ bậc ta có
$1 - \cos(2x) + m\sin(2x) = 2m$
$<-> \cos(2x) - m\sin(2x) = 1 - 2m$
$<-> \dfrac{1}{\sqrt{m^2+1}} \cos(2x) - \dfrac{m}{\sqrt{m^2+1}} \sin(2x) = \dfrac{1-2m}{\sqrt{m^2+1}}$
Đặt $\sin a = \dfrac{1}{\sqrt{m^2+1}}, \cos a = \dfrac{m}{\sqrt{m^2+1}}$. KHi đó, ptrinh trở thành
$\cos(2x) \sin a - \sin(2x) \cos a= \dfrac{1-2m}{\sqrt{m^2+1}}$
$<-> \sin(a - 2x) = \dfrac{1-2m}{\sqrt{m^2+1}}$
Do $\sin(a - 2x) \in [-1,1]$ nên để ptrinh vô nghiệm thì $\dfrac{1-2m}{\sqrt{m^2+1}} \notin [-1,1]$ hay
$\dfrac{1-2m}{\sqrt{m^2+1}} > 1$ hoặc $\dfrac{1-2m}{\sqrt{m^2+1}} < -1$
TH1: $\dfrac{1-2m}{\sqrt{m^2+1}} > 1$
Nhân cả 2 vế vs $\dfrac{1-2m}{\sqrt{m^2+1}} > 1$ ta có
$1 - 2m > \sqrt{m^2+1}$
ĐK: $m \leq \dfrac{1}{2}$. Bình phương 2 vế ta có
$1 - 4m + 4m^2 > m^2 + 1$
$<-> 3m^2 - 4m > 0$
Vậy $m > \dfrac{4}{3}$ hoặc $m < 0$.
Kết hợp đk ta có $m<0$.
TH2: $\dfrac{1-2m}{\sqrt{m^2+1}} < -1$
BPT tương đương vs
$\dfrac{1 - 2m + \sqrt{m^2+1}}{\sqrt{m^2+1}}< 0$
Do mẫu thức luôn lớn hơn 0 nên tử số phải nhỏ hơn 0 hay
$1 - 2m + \sqrt{m^2+1} < 0$
$<-> \sqrt{m^2+1} < 2m-1$
ĐK: $m \geq \dfrac{1}{2}$
Bình phương 2 vế ta có
$m^2 + 1 < 4m^2 - 4m + 1$
$<-> 3m^2 - 4m > 0$
Vậy $m > \dfrac{4}{3}$ hoặc $m < 0$. Kết hợp đk ta có $m > \dfrac{4}{3}$.
Vậy để ptrinh vô nghiệm thì $m< 0$ hoặc $m > \dfrac{4}{3}$.
