Đáp án:
\[x = 0\]
Giải thích các bước giải:
ĐKXĐ: \(x \ge 0\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{\left( {a - b} \right)^2} \ge 0,\,\,\,\forall a,b\\
\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge 2ab,\,\,\,\forall a,b\\
\Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} \ge 4ab,\,\,\,\forall a,b\\
{a^3} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right) \ge {\left( {a + b} \right)^3} - \frac{3}{4}{\left( {a + b} \right)^2}\left( {a + b} \right)\\
\Rightarrow {a^3} + {b^3} \ge \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^3}}}{4}\\
\Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^3} \le 4\left( {{a^3} + {b^3}} \right)\\
\sqrt[3]{{1 + \sqrt x }} + \sqrt[3]{{1 - \sqrt x }} = 2\\
\Leftrightarrow {\left( {\sqrt[3]{{1 + \sqrt x }} + \sqrt[3]{{1 - \sqrt x }}} \right)^3} = 8\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
{\left( {\sqrt[3]{{1 + \sqrt x }} + \sqrt[3]{{1 - \sqrt x }}} \right)^3} \le 4.\left( {1 + \sqrt x + 1 - \sqrt x } \right) = 4.2 = 8\,\,\,\,\left( 2 \right)
\end{array}\)
Từ (1) và (2) suy ra dấu '=' ở trên phải xảy ra
Do đó,
\(\begin{array}{l}
\sqrt[3]{{1 + \sqrt x }} = \sqrt[3]{{1 - \sqrt x }}\\
\Leftrightarrow 1 + \sqrt x = 1 - \sqrt x \\
\Leftrightarrow \sqrt x = 0\\
\Leftrightarrow x = 0
\end{array}\)
