Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Áp dụng Bất đẳng thức $Cauchy-Swarchz$ dạng Engel ta được
$\dfrac{1}{{{{(a + b)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{(b + c)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{(c + a)}^2}}} \ge \dfrac{9}{{{{(a + b)}^2} + {{(b + c)}^2} + {{(c + a)}^2}}}$(1)
Ta có
$\left\{ \begin{array}{l} {(a + b)^2} \le 4ab\\ {(b + c)^2} \le 4bc\\ {(c + a)^2} \le 4ca \end{array} \right.$
Áp dụng vào (1) ta được
$\frac{1}{{{{(a + b)}^2}}} + \frac{1}{{{{(b + c)}^2}}} + \frac{1}{{{{(c + a)}^2}}} \ge \frac{9}{{{{(a + b)}^2} + {{(b + c)}^2} + {{(c + a)}^2}}} \ge \frac{9}{{4ab + 4bc + 4ca}} = \frac{9}{{4(ab + bc + ca)}}$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$
