Đáp án:
$z_{\max}= 28 \Leftrightarrow (x;y)= (-2;-1)$
$z_{\min}= -28 \Leftrightarrow (x;y)= (2;1)$
Giải thích các bước giải:
$\quad z = x^3 + 3xy^2 - 15x - 12y$
Toạ độ điểm dừng là nghiệm của hệ phương trình:
$\quad \begin{cases}z_x' = 0\\z_y'= 0\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}3x^2 + 3y^2- 15=0\\6xy - 12 = 0\end{cases}$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\begin{cases}x = -2\\y = -1\end{cases}\\\begin{cases}x = -1\\y = -2\end{cases}\\\begin{cases}x = 1\\y = 2\end{cases}\\\begin{cases}x = 2\\y = 1\end{cases}\end{array}\right.$
Xét $\begin{cases}A = z_{xx}'' = 6x\\B = z_{xy}'' = 6y\\C = z_{yy}= 6x\end{cases}$
$+)$ Tại điểm dừng $M_1(-2;-1)$ ta có:
$\begin{cases}A= -12 < 0\\B = - 6\\C = -12\end{cases}\Rightarrow B^2 - AC = -108 < 0$
Do đó hàm số đạt cực đại tại $M_1(-2;-1);\ z_{\max}= 28$
$+)$ Tại điểm dừng $M_2(-1;-2)$ ta có:
$\begin{cases}A= -6 < 0\\B = - 12\\C = -6\end{cases}\Rightarrow B^2 - AC = 108 > 0$
Do đó hàm số không đạt cực trị tại $M_2(-1;-2)$
$+)$ Tại điểm dừng $M_3(1;2)$ ta có:
$\begin{cases}A= 6 > 0\\B = 12\\C = 6\end{cases}\Rightarrow B^2 - AC = 108 >0$
Do đó hàm số không đạt cực trị tại $M_3(1;2)$
$+)$ Tại điểm dừng $M_4(2;1)$ ta có:
$\begin{cases}A= 12 > 0\\B = 6\\C = 12\end{cases}\Rightarrow B^2 - AC = -108 < 0$
Do đó hàm số đạt cực tiểu tại $M_4(2;1);\ z_{\min}= -28$
