Đáp án :
Giải thích
Câu 1:
a) Xét p = 2 => p + 10 = 12 không là số nguyên tố
Xét p = 3 => p + 10 = 13 là số nguyên tố, p + 20 = 23 là số nguyên tố.
=> Chôn p = 3.
Xét p > 3 mà p là số nguyên tố => p có dạng p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2
+ Nếu p = 3k + 1 => p + 20 = 3k + 21 = 3(k +7) chia hết cho 3
Mà p > 3 => p + 20 không là số nguyên tố (vô lý)
+ Nếu p = 3k + 2 => p + 10 = 3k + 12 = 3(k + 4) chia hết cho 3
Mà p >3 => p + 10 không là số nguyên tố (vô lý)
Vậy p =3
b)Nếu n > 3 thì vì n là nguyên tố nên n chia cho 3 dư 1 hoặc 2 => n=3k±1n=3k±1
Suy ra n2+2=9k2+3n2+2=9k2+3 chia hết cho 3. Trái với giả thiết n2+2n2+2 là số nguyên tố.
Vậy n chỉ có thể bằng 3. Khi đó n;n2+2;n3+2n;n2+2;n3+2 lần lượt là 3;11;293;11;29 đều là số nguyên tố.
c)TH1:P có dạng: p=3k+1(k thuộc N*)
Ta có:(p-1)(p+1)=3k.(3k+2)
Vì p là số nguyên tố nên: k là số chẵn, k = 2n ( với n thuộc N*)
=>(p-1).(p+1)=3. 2n.(6n+2)=3.4.n.(3n+1)
Nếu n là số lẻ thì 3n+1 là số chẵn,ngược lại, n là số chẵn thì 3n+1 là số lẻ nên suy ra : n.(3n+1) chia hết cho 2
(p-1).(p+1) chia hết cho 3.4.2=24 (1)
TH2: P có dạng : p=3k+2 (k thuộc N*) :
Ta có :(p-1).(p+1)=(3k+1).(3k+3)=3.(3k+1).(k+1)
Vì p là số nguyên tố nên : k là số lẻ , k= 2n+1 ( với n thuộc N*)
=>(p-1).(p+1)=3.(6n+4).(2n+2)=3.4.(3n+2).(n+1)
Nếu n là số lẻ thì 3n+2 là số lẻ và n+1 là số chẵn , ngược lại, n là số chẵn thì 3n+2 là số chẵn và n+1 là số lẻ nên suy ra : (3n+2).(n+1) chia hết cho 2.
=> (p-1).(p+1) chia hết cho 3.4.2 (2)
=> Từ (1) và (2) suy ra (p-1).(p+1) chia hết cho 24
