Đáp án:
\[\left\{ \begin{array}{l}
- \dfrac{7}{2} < m < - 3\\
m \ne - \dfrac{{19}}{6}
\end{array} \right.\]
Giải thích các bước giải:
\[\begin{array}{l}
\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 2\left( {m + 3} \right)x + 4m + 12} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 1 = 0\\
{x^2} + 2\left( {m + 3} \right)x + 4m + 12 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
{x^2} + 2\left( {m + 3} \right)x + 4m + 12 = 0\,\left( * \right)
\end{array} \right.
\end{array}\]
Phương trình đã cho có 3 nghiệm lớn hơn \(-1\) \(\Leftrightarrow \left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác $1$ và lớn hơn \(-1\).
(*) có hai nghiệm phân biệt khác $1$ \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta ' = {\left( {m + 3} \right)^2} - \left( {4m + 12} \right) > 0\\
{1^2} + 2\left( {m + 3} \right).1 + 4m + 12 \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{m^2} + 2m - 3 > 0\\
6m + 19 \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
m > 1\\
m < - 3
\end{array} \right.\\
m \ne - \dfrac{{19}}{6}
\end{array} \right.\)
Phương trình có hai nghiệm \(x_1,x_2\) lớn hơn \(-1\)
\[\begin{array}{l}
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {{x_1} + 1} \right) + \left( {{x_2} + 1} \right) > 0\\
\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} + 2 > 0\\
{x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1 > 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 2\left( {m + 3} \right) + 2 > 0\\
4m + 12 - 2\left( {m + 3} \right) + 1 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 2m - 4 > 0\\
2m + 7 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < - 2\\
m > - \dfrac{7}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow - \dfrac{7}{2} < m < - 2
\end{array}\]
Kết hợp điều kiện ban đầu ta được \[\left\{ \begin{array}{l}
- \dfrac{7}{2} < m < - 3\\
m \ne - \dfrac{{19}}{6}
\end{array} \right.\]
