Đáp án:

Câu 1: \(m \ne  - 1\).

Câu 2: \(m =  - 1,\,\,m = 2\).

Câu 3: \(a=1\), \(m =  - \frac{3}{2}\).

Giải thích các bước giải:

Câu 1:

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\( - {x^2} = 2x - {m^2} + 2m \Leftrightarrow {x^2} + 2x - {m^2} + 2m = 0\,\,\left( 1 \right)\)

Để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta ' = {1^2} + {m^2} + 2m > 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} > 0\\ \Leftrightarrow m + 1 \ne 0\\ \Leftrightarrow m \ne  - 1\end{array}\)

Vậy \(m \ne  - 1\).

Câu 2:

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(m{x^2} =  - 2mx + 2 - {m^2} \Leftrightarrow m{x^2} + 2mx + {m^2} - 2 = 0\,\,\left( 2 \right)\)

Để (d) tiếp xúc (P) thì phương trình (1) có 1 nghiệm.

TH1: \(m = 0\)

\( \Rightarrow 0x - 2 = 0\) (Vô nghiệm)

TH2: \(m \ne 0\). Phương trình (2) có nghiệm kép

\(\begin{array}{l}\Delta ' = {m^2} - m\left( {{m^2} - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - {m^3} + 2m = 0\\ \Leftrightarrow m\left( { - {m^2} + m + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\m = 2\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\m =  - 1\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(m =  - 1,\,\,m = 2\).

Câu 3:

1/ \(A\left( {1;1} \right) \in \left( P \right)\).

\( \Rightarrow 1 = a{.1^2} \Leftrightarrow a = 1\).

\( \Rightarrow \left( P \right):\,\,y = {x^2}\)

2/ Gọi phương trình đường thẳng d là \(y = k\left( {x - 1} \right) + 1 \Leftrightarrow y = kx - k + 1\) (d)

Vì d cắt trục Ox tại điểm M có hoành độ là m \(\left( {m \ne 1} \right)\) nên d đi qua \(\left( {m;0} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 0 = km - k + 1\\ \Leftrightarrow  - 1 = k\left( {m - 1} \right)\\ \Leftrightarrow k = \frac{{ - 1}}{{m - 1}}\,\,\left( {m \ne 1} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow d:\,\,y =  - \frac{1}{{m + 1}}x + \frac{1}{{m + 1}} + 1\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(\begin{array}{l}{x^2} =  - \frac{1}{{m + 1}}x + \frac{1}{{m + 1}} + 1\\ \Leftrightarrow {x^2} + \frac{1}{{m + 1}}x - \frac{1}{{m + 1}} - 1 = 0\,\,\left( 3 \right)\end{array}\)

Để (P) và (d) có 1 điểm chung thì (3) có nghiệm kép.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta  = {\left( {\frac{1}{{m + 1}}} \right)^2} - 4\left( { - \frac{1}{{m + 1}} - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{{m + 1}}} \right)^2} + \frac{4}{{m + 1}} + 4 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{{m + 1}} + 2} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{m + 1}} + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{m + 1}} =  - 2\\ \Leftrightarrow m + 1 =  - \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow m =  - \frac{3}{2}\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy \(m =  - \frac{3}{2}\).