Giải thích các bước giải:
a.Ta có $DE//AB, DF//AC$
$\to DE//AF, DF//AE$
$\to AEDF$ là hình bình hành
b.Để $AEDF$ là hình chữ nhật
$\to AE\perp AF\to AB\perp AC$
$\to \Delta ABC$ vuông tại $A$
c.Ta có: $DE//AB\to \dfrac{DE}{AB}=\dfrac{CD}{CB}$
$DF//AC\to \dfrac{DF}{AC}=\dfrac{BD}{BC}$
$\to \dfrac{DE}{AB}+\dfrac{DF}{AC}=\dfrac{CD}{BC}+\dfrac{BD}{BC}=1$
$\to$Để $AEDF$ là hình thoi
$\to DE=DF$
$\to \dfrac{DE}{AB}+\dfrac{DE}{AC}=1$
$\to DE(\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{AC})=1$
$\to DE\cdot \dfrac{AB+AC}{AB.AC}=1$
$\to DE=\dfrac{AB.AC}{AB+AC}$
$\to \dfrac{DE}{AB}=\dfrac{AC}{AB+AC}$
$\to \dfrac{CD}{CB}= \dfrac{AC}{AB+AC}$
$\to CD=\dfrac{AC\cdot CB}{AB+AC}$
$\to D\in BC$ thỏa mãn $\dfrac{AC\cdot CB}{AB+AC}$
d.Ta có: $\Delta ABC$ vuông tại $A$
$\to AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{12^2-9^2}=3\sqrt{7}$
$\to S_{ABC}=\dfrac12\cdot AB\cdot AC=\dfrac12\cdot 27\sqrt{7}$