Câu 1:

\(\begin{array}{l} a.\sin x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\\  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\ x = \pi  - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi  \end{array} \right. (k\in\mathbb Z) \\ \text{Vậy phương trình có nghiệm}\\  \left\{ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\ x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi  \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\\ b.\sin^3x+\cos^3x=\cos x\text{ (*)}\\ \text{Xét }\cos x=0\text{ vì }\sin^2x+\cos^2x=1\Rightarrow\sin x=\pm1\\ \text{Thay vào (*) ta được: }\pm1+0=0\text{ (vô lý)}\\ \text{Vậy }\cos x=0\text{ không là nghiệm của (*),}\\\text{Ta chia cả hai vế (*) cho }\cos^3x:\\ \dfrac{{{{\sin }^3}x}}{{{{\cos }^3}x}} + \dfrac{{{{\cos }^3}x}}{{{{\cos }^3}x}} = \dfrac{{\cos x}}{{{{\cos }^3}x}}\\  \Leftrightarrow {\tan ^3}x + 1 = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}a}}\\  \Leftrightarrow {\tan ^3}x + 1 = {\tan ^2}x + 1\\  \Leftrightarrow {\tan ^3}x - {\tan ^2}x = 0\\  \Leftrightarrow {\tan ^2}x\left( {\tan x - 1} \right) = 0\\  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x = 0\\ \tan x = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k\pi \\ x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi  \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\text{ (thỏa mãn)}\\ \text{Vậy phương trình có nghiệm }\\ \left\{ \begin{array}{l} x = k\pi \\ x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi  \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right) \\c.\sin x - \cos 3x = \sqrt 3 \sin 3x - \sqrt 3 \cos x\\  \Leftrightarrow \sin x + \sqrt 3 \cos x = \sqrt 3 \sin 3x + \cos 3x\\  \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sin x + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 3x + \dfrac{1}{2}\cos 3x\\  \Leftrightarrow \sin x.\cos \dfrac{\pi }{3} + \sin \dfrac{\pi }{3}.\cos x = \sin 3x.\cos \dfrac{\pi }{6} + \sin \dfrac{\pi }{6}.\cos 3x\\  \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( {3x + \dfrac{\pi }{6}} \right)\\  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x + \dfrac{\pi }{3} = 3x + \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\ x + \dfrac{\pi }{3} = \pi  - 3x - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi  \end{array} \right.\\  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\ 4x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi  \end{array} \right.\\  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \\ x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{2} \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right) \end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm là:

$\left\{ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \\ x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{2} \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$

Bài 3:

Do P∈(MNP); P∈(BCD)

⇒ P ∈ (MNP)∩(BCD)

⇒ P là điểm chung đầu tiên (1)

Trong (ABC) gọi E=MN∩BC

Có MN⊂(MNP)

BC⊂(BCD)

⇒ E∈(MNP)∩(BCD)

⇒ E là điểm chung thứ 2 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ PE=(MNP)∩(BCD)

⇒ PE là giao tuyến của 2 mặt phẳng