Đáp án:
23) $A.\, \dfrac{3a^3}{16}$
24) $D.\, \dfrac{1}{24}$
Giải thích các bước giải:
23) Ta có: $ΔABC$ đều cạnh $a$
$\Rightarrow S_{ABC} = \dfrac{a^2\sqrt3}{4}$
Gọi $H$ là trung điểm $AB$
$\Rightarrow A'H\perp AB$
Gọi $M$ là trung điểm $AC$
$\Rightarrow BM\perp AC;\, BM = \dfrac{AB\sqrt3}{2} = \dfrac{a\sqrt3}{2}$
Từ $H$ kẻ $HN// BM\quad (N\perp AC)$
$\Rightarrow HN\perp AC; \, HN = \dfrac{1}{2}BM = \dfrac{a\sqrt3}{4}$
Ta có:
$HN\perp AC$ (cách dựng)
$AC\perp A'H \quad (SH\perp (ABC)$
$\Rightarrow AC\perp (A'HN)$
$\Rightarrow AC\perp A'N$
Mặt khác:
$\begin{cases}(ACC'A')\cap (ABC) = AC\\HN\perp AC;\, HN\subset (ABC)\\A'N\perp AC;\, A'N\subset (ACC'A')\end{cases}$
$\Rightarrow \widehat{((ACC'A');(ABC))} = \widehat{A'NH} = 45^o$
$\Rightarrow A'H=HN.\tan45^o = \dfrac{a\sqrt3}{4}$
Ta được:
$V_{ABC.A'B'C'} = S_{ABC}.A'H = \dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot \dfrac{a\sqrt3}{4} = \dfrac{3a^3}{16}$
24) Ta có:
$\dfrac{V_{S.A'B'C'}}{V_{S.ABC}} = \dfrac{SA'}{SA}\cdot\dfrac{SB'}{SB}\cdot\dfrac{SC'}{SC} = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{24}$
