Đáp án:
a) \(D\left( {3;5} \right)\).
b) \(H\left( {\dfrac{2}{5}; - \dfrac{8}{5}} \right)\).
c) \(M\left( {0;1} \right)\).
Giải thích các bước giải:
a) Gọi \(D\left( {x;y} \right)\).
Để ABCD là hình bình hành ta có \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {2; - 2} \right) = \left( {5 - x;3 - y} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 - x = 2\\3 - y = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 5\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(D\left( {3;5} \right)\).
b) Gọi \(H\left( {x;y} \right)\) là trực tâm của tam giác ABC.
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\BH \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\end{array} \right.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AH} = \left( {x + 1;y - 4} \right);\,\,\overrightarrow {BC} = \left( {4;1} \right)\\\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {x + 1} \right) + 1\left( {y - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 4x + 4 + y - 4 = 0\\ \Leftrightarrow 4x + y = 0\,\,\,\left( 1 \right)\\\overrightarrow {BH} = \left( {x - 1;y - 2} \right);\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {6; - 1} \right)\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\\ \Leftrightarrow 6\left( {x - 1} \right) - 1\left( {y - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 6x - 6 - y + 2 = 0\\ \Leftrightarrow 6x - y = 4\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)
Giải hệ (1), (2) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}4x + y = 0\\6x - y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{2}{5}\\y = - \dfrac{8}{5}\end{array} \right.\)
Vậy \(H\left( {\dfrac{2}{5}; - \dfrac{8}{5}} \right)\).
c) Gọi \(M\left( {0;m} \right) \in Oy\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MA} - 3\overrightarrow {MB} \\ = \left( { - 1;4 - m} \right) - 3\left( {1;2 - m} \right)\\ = \left( { - 4;2m - 2} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MA} - 3\overrightarrow {MB} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( {2m - 2} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {2m - 2} \right)}^2} + 16} \ge \sqrt {16} = 4\)
\( \Rightarrow {\left| {\overrightarrow {MA} - 3\overrightarrow {MB} } \right|_{\min }} = 4\).
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow 2m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 1\).
Vậy \(M\left( {0;1} \right)\).
