- Các lực tác dụng vào thanh BC
+ Trọng lực $ \overrightarrow{P} $ : P = mg
+ Lực căng dây $ \overrightarrow{T} $
+ Phản lực của tường $ \overrightarrow{Q} $ được phân tích: $ \overrightarrow{Q}=\overrightarrow{N}+\overrightarrow{{{F}_{ms}}} $ (1)
- Chọn hệ quy chiếu Bxy như hình vẽ
- Khi hệ cân bằng ta có: $ \overrightarrow{P}+\overrightarrow{T}+\overrightarrow{N}+\overrightarrow{{{F}_{ms}}}=\overrightarrow{0} $ (2)
Bx: $ N=T.\sin \alpha $ (3)
By: $ {{f}_{ms}}=mg-T.\cos \alpha $ (4)
- Cân bằng momen của hệ đối với trục quay qua B
Đặt AB = h và $ ABC=\beta $
$ P.\dfrac{d}{2}.\sin \beta =T.h.\sin \alpha \Rightarrow T=mg.\dfrac{d\sin \beta }{2h.\sin \alpha } $ (5)
- Áp dụng định lí hàm sin trong tam giác ABC:
$ \dfrac{d}{\sin \alpha }=\dfrac{L}{\sin \beta }=\dfrac{h}{\sin \left( \alpha +\beta \right)}\Rightarrow h=\dfrac{d.\sin \left( \alpha +\beta \right)}{\sin \alpha } $ (6)
Từ (3), (5), (6): $ T=\dfrac{mg.d.\sin \beta }{2\sin \left( \alpha +\beta \right)}\Rightarrow N=\dfrac{mg.\sin \alpha .\sin \beta }{2\sin \left( \alpha +\beta \right)} $ (7)
Từ (4): $ {{f}_{ms}}=mg\left( 1-\dfrac{\cos \alpha .\sin \beta }{2\sin \left( \alpha +\beta \right)} \right) $(8)
- Để có cân bằng phải có ma sát nghỉ và $ {{f}_{ms}}\le kN $ , với k là hệ số ma sát
Từ (4): $ mg\left( 1-\dfrac{\cos \alpha .\sin \beta }{2\sin \left( \alpha +\beta \right)} \right)\le k.\dfrac{mg.\sin \alpha .\cos \beta }{2sin\left( \alpha +\beta \right)} $ (9)
Hay: $ k\ge \dfrac{2\sin \alpha .\cos \beta +\sin \beta .\cos \alpha }{\sin \alpha .\sin \beta }=\left( \dfrac{2}{\tan \beta }+\dfrac{1}{\tan \alpha } \right) $ (10)
Từ (6): $ \sin \beta =\dfrac{L.\sin \alpha }{d}\Rightarrow \cos \beta =\dfrac{\sqrt{{{d}^{2}}-{{L}^{2}}.{{\sin }^{2}}}}{d} $ (11)
Từ (10): $ k\ge \dfrac{2\sqrt{{{d}^{2}}-{{L}^{2}}.{{\sin }^{2}}\alpha }}{L.\sin \alpha }+\dfrac{1}{\tan \alpha } $
