`a,` `ΔABC` vuông tại `A` $(gt)$ `⇒\hat{BAC}=90^o` Hay `\hat{EAF}=90^o`
`HE\botAB` $(gt)$ `⇒\hat{HEA}=90^o`
`HF\botAC` $(gt)$ `⇒\hat{HFA}=90^o`
Áp dụng định lý Pytago trong `ΔABC` vuồn tại `A` `$(gt)$ có:
`BC^2=AB^2+AC^2`
Hay `BC^2=3^2+4^2`
`⇔BC^2=9+16=25`
`⇒BC=5` `(cm)` `\text{(vì}` `BC>0)`
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong `ΔABC` vuông tại `A` $(gt)$ `,AH\botBC` $(gt)$ có:
`AH.BC=AB.AC`
Hay `AH.5=3.4`
`⇔AH.5=12`
`⇔AH=2,4` `(cm)`
Xét tứ giác `AEHF` có:
`\hat{EAF}=90^o` `(cmt)
`\hat{HEA}=90^o` `(cmt)`
`\hat{HFA}=90^o` `(cmt)`
`⇒` Tứ giác `AEHF` là hình chữ nhật
`⇒AH=EF=2,4` `cm`
`b,` `AH\botBC` $(gt)$ `⇒\hat{AHB}=\hat{AHC}=90^o`
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong `ΔAHB` vuông tại `H` `(\hat{AHB}=90^o),HE\botAB` $(gt)$ có: `AH^2=AE.AB`
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong `ΔAHC` vuông tại `H` `(\hat{AHC}=90^o),HF\botAC` $(gt)$ có: `AH^2=AF.AC`
`⇒AE.AB=AF.AC`
`c,` Gọi giao điểm của `AO` và `EF` là `I`
Xét `ΔABC` có:
`AO` là trung tuyến ứng với cạnh huyền `BC` (`O` là trung điểm của `BC`)
`⇒OA=OB=OC=1/2BC`
Xét `ΔOAC` có: `OA=OC` `(cmt)`
`⇒ΔOAC` cân tại `O`
`⇒\hat{OAC}=\hat{OCA}` Hay `\hat{IAF}=\hat{ACB}`
Có `AE.AB=AF.AC` `(cmt)`
`⇒{AE}/{AC}={AF}/{AB}`
Xét `ΔAEF` và `ΔACB` có:
`{AE}/{AC}={AF}/{AB}` `(cmt)`
`\hat{BAC}`: góc chung
`⇒ΔAEF`$\backsim$`ΔACB` `(c.g.c)`
`⇒\hat{AFE}=\hat{ABC}` (hai góc tương ứng)
Hay `\hat{AFI}=\hat{ABC}`
Xét `ΔABC` vuông tại `A` $(gt)$ có:
`\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^o` (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)
Mà `\hat{IAF}=\hat{ACB}` `(cmt)` `,\hat{AFI}=\hat{ABC}` `(cmt)`
`⇒\hat{AFI}+\hat{IAF}=90^o`
Xét `ΔAIF` có: `\hat{AFI}+\hat{IAF}=90^o` `(cmt)`
`⇒ΔAIF` vuông tại `I`
`⇒AO\botEF` tại `I`
