$a)$ Áp dụng định lí Pitago vào $\Delta ABC$ vuông tại $A$ ta có
$ AB^2 +AC^2 = BC^2$
$\to BC^2 = 6^2 +8^2 = 100 = 10^2$
$\to BC = 10\ cm$
Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác, $BK$ là đường phân giác nên
$ \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AK}{KC}$
$\to \dfrac{AB}{AK} = \dfrac{BC}{KC}$
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có
$ \dfrac{AB}{AK} = \dfrac{BC}{KC} = \dfrac{AB+BC}{AK+KC} = \dfrac{AB+BC}{AC} = \dfrac{6+10}{8} = 2$
Ta có
$ \dfrac{AB}{AK} = 2 \to \dfrac{6}{AK} = 2 \to AK = 3\ cm$
$ \dfrac{BC}{KC} = 2 \to \dfrac{10}{KC} = 2 \to KC = 5\ cm$
$b)$
Xét $\Delta ABC$ và $\Delta HBA$ ta có
$ \widehat{BAC} = \widehat{AHB} = 90^0$
$ \widehat{ABH}$ chung
$\to \Delta ABC \sim \Delta HBA$
$\to \dfrac{AB}{HB} = \dfrac{BC}{AB}$
$\to AB^2 = BH . BC$ (điều phải chứng minh)
$c)$
Ta có tỉ số đồng dạng của hai tam giác $ABC;\ HBA$ chính là tỉ số giữa hai cạnh tương ứng
$\to$ Tỉ số đồng dạng $ k = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{10}{6} = \dfrac{5}{3}$
