a)
$\Delta ABC$ cân tại $A$
$\to AB=AC$
$\,\,\,\,\,\,AM+AN=2AB$
$\to \left( AB-BM \right)+\left( AC+CN \right)=AB+AC$
$\to BM=CN$
b)
Gọi $D$ là giao điểm của $BC$ và $MN$
Từ $N$ kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt $BC$ tại $E$
$\to \widehat{ABC}=\widehat{NEC}$ ( hai góc so le trong )
Mà: $\begin{cases}\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\\\\\widehat{ACB}=\widehat{NCE}\end{cases}$
Nên $\widehat{NEC}=\widehat{NCE}$
$\to \Delta NCE$ cân tại $N$
$\to EN=CN$
$\to EN=BM$
Xét $\Delta BDM$ và $\Delta EDN$, ta có:
$\widehat{DBM}=\widehat{DEN}$ ( $EN\,\,||\,\,AB$, hai góc so le trong )
$BM=EN$ ( cmt )
$\widehat{DMB}=\widehat{DNE}$ ( $EN\,\,||\,\,AB$, hai góc so le trong )
$\to \Delta BDM=\Delta EDN\,\,\,\left( \,g\,.\,c\,.\,g\, \right)$
$\to DM=DN$
$\to D$ là trung điểm $MN$
$\to BC$ đi qua trung điểm $D$ của $MN$
c)
Từ $C$ vẽ đường thẳng vuông góc với $AC$ cắt phân giác góc $\widehat{BAC}$ tại $F$
Bây giờ chỉ việc chứng minh $F$ trùng với $K$ là kết thúc bài toán
Xét $\Delta ABF$ và $\Delta ACF$, ta có:
$AB=AC$
$AF$ cạnh chung
$\widehat{BAF}=\widehat{CAF}$
$\to \Delta ABF=\Delta ACF$
$\to \widehat{ABF}=\widehat{ACF}=90{}^\circ $
Mặt khác:
$\Delta ABC$ cân tại $A$ có $AF$ là tia phân giác
Nên $AF$ cũng là đường trung trực
$\to FB=FC$
Xét $\Delta MBF$ và $\Delta NCF$, ta có:
$MB=NC$
$\widehat{MBF}=\widehat{NCF}=90{}^\circ $
$FB=FC$
$\to \Delta MBF=\Delta NCF$
$\to FM=FN$
$\to \Delta FMN$ cân tại $F$
Có $FD$ là đường trung tuyến
Nên $FD$ cũng là đường trung trực
Mà $KD$ cũng là đường trung trực ( gt )
Và điểm $K,F$ đều nằm trên phân giác $\widehat{BAC}$
Vì vậy $K\equiv F$
Hay nói cách khác $KC\bot AN$
