Đáp án:
$d(BD;SC)=\dfrac a2$
Giải thích các bước giải:
Gọi $O$ là tâm của đáy, $H$ là hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$
Ta có:
$S.ABD$ là tứ diện đều cạnh $a$
$\Rightarrow \begin{cases}SH = \dfrac{a\sqrt6}{3}\\AO = OC = \dfrac{a\sqrt3}{2}\\OH =\dfrac13AO = \dfrac{a\sqrt3}{6}\end{cases}$
$\Rightarrow SC =\sqrt{SH^2 + HC^2}=\sqrt{\dfrac{2a^2}{3} + \dfrac{4a^2}{3}}= a\sqrt2$
Mặt khác:
$\begin{cases}SH\perp (ACBD)\\BD\perp AC\end{cases}$
$\Rightarrow BD\perp (SAC)$
Trong $mp(SAC)$ kẻ $OK\perp SC$
$\Rightarrow BD\perp OK$
$\Rightarrow OK$ là đoạn vuông góc chung của $BD$ và $SC$
$\Rightarrow OK = d(BD;SC)$
Ta có: $\triangle COK\backsim \triangle CSH\ (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{OK}{SH}=\dfrac{CO}{CS}$
$\Rightarrow OK = \dfrac{SH.CO}{CS}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt6}{3}\cdot \dfrac{a\sqrt3}{2}}{a\sqrt2}= \dfrac a2$
Vậy $d(BD;SC)=\dfrac a2$
