Lời giải:
a) Ta có:
$\begin{cases}AM = MB =\dfrac12AB\\AN = NC =\dfrac12AC\end{cases}\quad(gt)$
$\Rightarrow \begin{cases}OM\perp AB\\ON\perp AC\end{cases}$ (mối quan hệ đường kính - dây cung)
$\Rightarrow \widehat{OMA}=\widehat{ONA}= 90^\circ$
$\Rightarrow \widehat{OMA}+\widehat{ONA}=90^\circ$
$\Rightarrow AMON$ là tứ giác nội tiếp
b) Dễ dàng chứng minh được $MN$ là đường trung bình của $\triangle ABC$
$\Rightarrow MN// BC$
$\Rightarrow MN\perp AH\qquad (1)$
Ta lại có:
$M$ là trung điểm cạnh huyền $AB$ của $\triangle ABH$
$\Rightarrow MA = MB = MH$
$\Rightarrow \triangle AMH$ cân tại $M\quad (2)$
Từ $(1)(2)\Rightarrow MN$ là phân giác của $\widehat{AMH}$
$\Rightarrow \widehat{AMN}=\widehat{HMN}$
Mặt khác:
$AE//BC\quad (gt)$
$\Rightarrow AE//MN$
mà $AENM$ nội tiếp $(I)$
$\Rightarrow AENM$ là hình thang cân
$\Rightarrow \begin{cases}AM = EN\\\widehat{AMN}=\widehat{ENM}\end{cases}$
Do đó: $\begin{cases}MH = EN\\\widehat{HMN}=\widehat{ENM}\end{cases}$
$\Rightarrow \begin{cases}MH = EN\\MH//EN\end{cases}$
$\Rightarrow HMEN$ là hình bình hành
Lại có: $HE\cap MN = K$
$\Rightarrow KM = KN =\dfrac12MN$
$\Rightarrow IK\perp MN$ (mối quan hệ đường kính - dây cung)
mà $MN//BC$
nên $IK\perp BC$
