e) Ta có QI là đường trung bình của tam giác ABC nên QI//BC và $QI = \dfrac{1}{2} BC = MC$
Xét tứ giác QICM có QI//MC và QI = MC.
Vậy tứ giác QICM là hình bình hành.
Lại có QC giao MI tại D nên D là trung điểm CQ.
Lại có tứ giác AKIQ là hình bình hành nên QI giao QK tại trung điểm mỗi đường.
Suy ra N là trung điểm QK.
Xét tam giác QKC có N, D là trung điểm QK và QC. Vậy ND//KC
Lại có tứ giác AKCM là hình chữ nhật nên $KC \perp BC$.
Vậy $ND \perp BC$. (Theo đly từ vuông góc đến //)
f) Ta có I là trung điểm AC, M là trung điểm AE nên EI, CM là các đường trung tuyến của tam giác AEC.
Lại có EI giao CM tại P nên P là trọng tâm tam giác ACE.
Do đó AP cũng là trung tuyến của tam giác ACE.
Vậy AP đi qua trung điểm của CE và $MP = \dfrac{1}{3} MC$.
Lại có $MC = \dfrac{1}{2} BC$ nên
$MP = \dfrac{1}{3} . MC = \dfrac{1}{3} . \dfrac{1}{2} . BC = \dfrac{1}{6} BC$
Vậy $BC = 6 MP$.
