a) Vì \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{4}\) và \(A{\rm{D}} = \frac{1}{2}BC\) nên theo đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng 1 nửa cạnh huyền. Suy ra \(AB = 6cm;AC = 8cm,BC = 10cm\). Vậy diện tích tam giác ABC là \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AC.AB = \frac{1}{2}6.8 = 24\left( {c{m^2}} \right)\)
b) AD là trung tuyến của tam giác ABC, dựng BE//MN, CF//MN (E và F đều thuộc AD) Dễ chứng minh \(\Delta BE{\rm{D}} = \Delta CFD\left( {g.c.g} \right)\) Nên BE=CF, DE=DF Xét tam giác AMG có MG//BE nên \(\frac{{AB}}{{AM}} = \frac{{A{\rm{E}}}}{{AG}}\) Tam giác ANG cũng có \(\frac{{AC}}{{AN}} = \frac{{A{\rm{F}}}}{{AG}}\)
Cộng theo vế, ta có: \(\frac{{AB}}{{AM}} + \frac{{AC}}{{AN}} = \frac{{A{\rm{E + AF}}}}{{AG}} = \frac{{A{\rm{D}} - DE + A{\rm{D}} + DF}}{{\frac{2}{3}A{\rm{D}}}} = \frac{{2{\rm{AD}}}}{{\frac{2}{3}A{\rm{D}}}} = 3\)
