a) Có: Tam giác ABC nội tiếp đường tròn O có BC là đường kính nên:
⇒ Tam giác ABC vuông tại A
⇒ CA ⊥ AB tại A hay CA ⊥ BD tại A
⇒ Góc CAD = Góc CAB = 90 độ
⇒ Tam giác ACD vuông tại A
Có: CA ⊥ BD tại A (cmt)
OK // BD (gt)
⇒ OK ⊥ AC (Quan hệ từ vuông góc đến song song)
b) Xét tam giác CAD vuông tại A (cma) có:
CD² = CA² + AD² (Định lý Py-ta-go)
8² = 4,8² + AD² (Thay số)
AD² = 40,96
⇒ AD = 6,4 (cm)
Có: AC ⊥ BD tại A (cma) nên:
⇒ AC là đường cao trong tam giác BCD
Xét tam giác BCD vuông tại C, đường cao AC có:
AC² = AB.AD (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)
4,8² = AB.6,4 (Thay số)
AB = 3,6 (cm)
Xét tam giác BCA vuông tại A có:
BC² = AC² + AB² (Định lý Py-ta-go)
BC² = 4,8² + 3,6² (Thay số)
BC² = 36
⇒ BC = 6 (cm)
⇒ R = $\frac{BC}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3(cm)
c) Xét tam giác CBD, có:
O là trung điểm của CB (CB là đường kính thuộc đường tròn tâm O)
OK // BD (gt)
⇒ K là trung điểm của CD (Định lý 1)
⇒ AK là đường trung tuyến trong tam giác ACD
Mà tam giác ACD vuông tại A (cma)
⇒ AK = $\frac{CD}{2}$
Mà CK = KD = $\frac{CD}{2}$ (K là trung điểm của CD)
⇒ AK = CK = KD
d) Xét tam giác KCO và tam giác KAO, có:
CK = KA (cmc)
Cạnh OK chung
OC = OA (Đều là bán kính thuộc đường tròn O)
⇒ Tam giác KCO = Tam giác KAO (c.c.c)
⇒ Góc OCK = Goc OAK = 90 độ
⇒ OA ⊥ AK tại A
Mà điểm A nằm trên đường tròn (O)
⇒ AK là tiếp tuyến của đường tròn (O) (dhnb)
