Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Áp dụng AM-GM
\[\begin{array}{l}
\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^3} + 8} }} + \frac{{{y^2}}}{{\sqrt {{y^3} + 8} }} + \frac{{{z^2}}}{{\sqrt {{z^3} + 8} }} = \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {(x + 2)({x^2} - 2x + 4)} }} + \frac{{{y^2}}}{{\sqrt {(y + 2)({y^2} - 2y + 4)} }} + \frac{{{z^2}}}{{\sqrt {(z + 2)({z^2} - 2z + 4)} }}\\
\ge \frac{{2{x^2}}}{{x + 2 + {x^2} - 2x + 4}} + \frac{{2{y^2}}}{{y + 2 + {y^2} - 2y + 4}} + \frac{{2{z^2}}}{{z + 2 + {z^2} - 2z + 4}}
\end{array}\]
Áp dụng bất đẳng $Cauchy-Swarchz$ Dạng Engel ta được
\[\frac{{2{x^2}}}{{x + 2 + {x^2} - 2x + 4}} + \frac{{2{y^2}}}{{y + 2 + {y^2} - 2y + 4}} + \frac{{2{z^2}}}{{z + 2 + {z^2} - 2z + 4}} \ge \frac{{2{{(x + y + z)}^2}}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2} - x - y - z + 18}} = \frac{{2{{(x + y + z)}^2}}}{{{{(x + y + z)}^2} - 2(xy + yz + zx) - (x + y + z) + 12 + 2(xy + yz + zx)}} = \frac{{2{{(x + y + z)}^2}}}{{{{(x + y + z)}^2} - (x + y + z) + 12}}\]
Đặt $t=x+y+z$ với $t\ge\sqrt{3(xy+yz+zx)}=3$
Bất đẳng thức cần chứng minh là$\frac{2t^2}{t^2-t+12}\geq 1\Leftrightarrow (t-3)(t+4)\geq 0$
(BĐT đúng).
Dấu bằng xảy ra khi $t=3\Rightarrow x=y=z=1$
