Giải thích các bước giải:
Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau có:
OD là phân giác của góc AOM
OE là phân giác của góc BOM
Mà góc AOM và góc BOM là 2 góc kề bù nên \(OD \bot OE\)
Suy ra tam giác ODE vuông tại O, áp dụng hệ thức lượng có \(DM.EM = O{M^2} = {R^2}\).
Lại có AD = DM, BE = EM (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
\( \Rightarrow AD.BE = {R^2}\)
Ta có: \(\dfrac{{AD}}{{CE}} = \dfrac{{DM}}{{ME}}\) (định lí Ta-lét).
Mà AD = DM (cmt) nên CE = ME = BE
\(\begin{array}{l} \Rightarrow BC = 2BE\\ \Rightarrow AD.BE = AD.\dfrac{1}{2}BC = {R^2} \Rightarrow AD.BC = 2{R^2}\end{array}\)
Lại có \(AB.OB = 2R.R = 2{R^2}\) nên AD.BC = AB.OB
\( \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{OB}}{{BC}}\)
Xét tam giác ABD và tam giác BCO có:
\(\begin{array}{l}\angle DAB = \angle OBC = {90^0}\\\dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{OB}}{{BC}}\,\,\left( {cmt} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \Delta ABD \sim \Delta BCO\,\,\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \angle {B_1} = \angle {C_1}\) (hai góc tương ứng)
Mà \(\angle {B_1} + \angle {B_2} = {90^0}\) nên \(\angle {C_1} + \angle {B_2} = {90^0}\).
Gọi I là giao điểm của BD và OC.
Xét tam giác IBC có \(\angle {C_1} + \angle {B_2} = {90^0}\), suy ra tam giác IBC vuông tại I.
Vậy \(BD \bot OC\) (đpcm).
