Đáp án:
a)$S = \left\{ { - 2;4} \right\}$
b) $MinP = 2 \Leftrightarrow m = 3$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
${x^2} - 2x + m - 2 = 0\left( 1 \right)$
a) Với $m=-6$ phương trình $(1)$ trở thành:
$\begin{array}{l}
{x^2} - 2x - 8 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 4\\
x = - 2
\end{array} \right.
\end{array}$
Vậy với $m=-6$ phương trình có tập nghiệm là: $S = \left\{ { - 2;4} \right\}$
b) Ta có:
Phương trình $(1)$ có nghiệm $x_1;x_2$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \Delta ' \ge 0\\
\Leftrightarrow {\left( { - 1} \right)^2} - 1.\left( {m - 2} \right) \ge 0\\
\Leftrightarrow 1 - m + 2 \ge 0\\
\Leftrightarrow 3 - m \ge 0\\
\Leftrightarrow m \le 3
\end{array}$
Khi đó:
Theo ĐL Viet ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2\\
{x_1}{x_2} = m - 2
\end{array} \right.$
Như vậy:
$\begin{array}{l}
P = x_1^4 + x_2^4\\
= {\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)^2} - 2x_1^2x_2^2\\
= {\left( {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right)^2} - 2{\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2}\\
= {\left( {{2^2} - 2.\left( {m - 2} \right)} \right)^2} - 2{\left( {m - 2} \right)^2}\\
= 4{\left( {\left( {m - 2} \right) - 2} \right)^2} - 2{\left( {m - 2} \right)^2}\\
= 2{\left( {m - 2} \right)^2} - 16\left( {m - 2} \right) + 16\\
= 2{m^2} - 24m + 56\\
= 2\left( {{m^2} - 6m + 9} \right) - 12m + 38\\
= 2{\left( {m - 3} \right)^2} - 12\left( {m - 3} \right) + 2\\
= 2{\left( {m - 3} \right)^2} + 12\left( {3 - m} \right) + 2\\
\ge 2,\forall m \le 3
\end{array}$
Dấu bằng xảy ra
$ \Leftrightarrow {\left( {m - 3} \right)^2} = 3 - m = 0 \Leftrightarrow m = 3$
Vậy $MinP = 2 \Leftrightarrow m = 3$
