Đáp án:
$c. n =$ {$0 , 2$}
$d. n =$ {$- 2 , - 1 , 0 , 1 , 2$}
$f. n =$ {$- 3 , 1$}
Giải thích các bước giải:
$c. C = \frac{3n^{3}+10n^{2}-8}{3n+1}$ $( n ∈ Z )$
⇔ $C = \frac{n^{2}(3n+1)+(9n^{2}-1)-7}{3n+1}$
⇔ $C = \frac{n^{2}(3n+1)+(3n-1)(3n+1)-7}{3n+1}$
⇔ $C = n^{2} + 3n - 1 - \frac{7}{3n+1}$
Vì $n ∈ Z ⇒ n^{2} + 3n - 1 ∈ Z$
Để $C ∈ Z$ thì $\frac{7}{3n+1} ∈ Z$
mà $n ∈ Z ⇒ 7$ $\vdots$ $3n + 1$
⇒ $3n + 1 ∈ Ư(7) =$ {$±1 , ± 7$}
⇔ $3n + 1 =$ {$- 7 , - 1 , 1 , 7$}
⇔ $3n =$ {$- 8 , - 2 , 0 , 6$}
⇔ $n =$ {$- \frac{8}{3} , - \frac{2}{3} , 0 , 2$}
⇒ $n =$ {$0 , 2$} ( do $n ∈ Z$ )
$d. D = \frac{n^{2}-4}{n^{2}-2}$ $( n ∈ Z )$
⇔ $D = \frac{(n^{2}-2)-2}{n^{2}-2}$
⇔ $D = 1 - \frac{2}{n^{2}-2}$
Để $D ∈ Z$ thì $\frac{2}{n^{2}-2} ∈ Z$
mà $n ∈ Z ⇒ 2$ $\vdots$ $n^{2} - 2$
⇒ $n^{2} - 2 ∈ Ư(2) =$ {$±1 , ±2$}
⇒ $n^{2} - 2 =$ {$- 2 , - 1 , 1 , 2$}
⇔ $n^{2} =$ {$0 , 1 , 3 , 4$}
⇔ $n =$ {$0 , ±1 , ±\sqrt[]{3} , ±2$}
⇒ $n =$ {$- 2 , - 1 , 0 , 1 , 2$} ( do $n ∈ Z$ )
$f. F = \frac{n-1}{2n+2}$ $( n \ne - 1 )$
⇔ $2F = \frac{n-1}{n+1}$
⇔ $2F = \frac{n+1-2}{n+1}$
⇔ $2F = 1 - \frac{2}{n+1}$
Vì $F ∈ Z ⇒ 2F ∈ Z$
⇒ $\frac{2}{n+1} ∈ Z$
mà $n ∈ Z ⇒ 2$ $\vdots$ $n + 1$
⇒ $n + 1 ∈ Ư(2) =$ {$± 1 , ± 2$}
⇒ $n + 1 =$ {$- 2 , - 1 , 1 , 2$}
⇔ $n =$ {$- 3 , - 2 , 0 , 1$}
Thay $n =$ {$- 3 , - 2 , 0 , 1$} vào $F$ thử lại
⇒ $n =$ {$- 3 , 1$} thỏa mãn
