Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Áp dụng $HĐT:$
$ a³ + b³ + c³ = (a + b + c)³ - 3(a + b + c)(ab + bc + ca) + 3abc $
Ta có $: 0 ≤ a, b, c ≤ 2 ⇒ a - 2 ≤ 0; b - 2 ≤ 0; c - 2 ≤ 0$
$ ⇒ (a - 2)(b - 2)(c - 2) ≤ 0 (1) ⇔ (ab - 2a - 2b + 4)(c - 2) ≤ 0$
$ ⇔ abc - 2(ab + bc + ca) + 4(a + b + c) - 8 ≤ 0$
$ ⇔ 4 - 2(ab + bc + ca) + abc ≤ 0$ ( thay $ a + b + c = 3$)
$ ⇔ 18 - 9(ab + bc + ca) + \frac{9}{2}abc ≤ 0$
$ ⇔ 27 - 9(ab + bc + ca) + 3abc ≤ 9 - \frac{3}{2}abc ≤ 9 (2)$
$ ⇔ (a + b + c)³ - 3(a + b + c)(ab + bc + ca) + 3abc ≤ 9 $
$ ⇔ a³ + b³ + c³ ≤ 9$
Dấu $'="$ xảy ra khi đồng thời xảy ra dấu $"="$ ở $(1); (2)$
$ a - 2 = 0$ hoặc $b - 2 = 0$ hoặc $c - 2 = 0$ và $ abc = 0$
Vì $ a + b + c = 0$ nên:
- Nếu $ a - 2 = 0 ⇔ a = 2 ⇒ b = 0; c = 1$ hoặc $b = 1; c = 0$
- Nếu $ b - 2 = 0 ⇔ b = 2 ⇒ c = 0; a = 1$ hoặc $c = 1; a = 0$
- Nếu $ c - 2 = 0 ⇔ c = 2 ⇒ a = 0; b = 1$ hoặc $a = 1; b = 0$
