Giải thích các bước giải:
$A = \bigg(x+\dfrac{1}{x}\bigg)^2+\bigg(y+\dfrac{1}{y}\bigg)^2+1994,5$
$ = x^2+\dfrac{1}{x^2}+2+\dfrac{y^2}+\dfrac{1}{y^2}+2$
$ = 1998,5+(x^2+y^2)+\bigg(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\bigg) $
Vì $(x-y)^2 ≥ 0 $
$⇔ x^2+y^2 ≥ 2xy$
$⇔ \left\{ \begin{array}{l}2.(x^2+y^2)≥(x+y)^2\\(x+y)^2≥4xy\end{array} \right.$
$⇔ \left\{ \begin{array}{l}x^2+y^2≥\dfrac{(x+y)^2}{2} = 8\\xy ≤ \dfrac{(x+y)^2}{4} =4\end{array} \right.$
Áp dụng BĐT $AM-GM$ cho hai số ta được :
$\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2} ≥ 2\sqrt[]{\dfrac{1}{x^2y^2}} = \dfrac{2}{xy} ≥ \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} $
Do đó :
$A= 1998,5+(x^2+y^2)+\bigg(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\bigg) ≥ 1998,5+8 +\dfrac{1}{2} = 2007$
Dấu "=" xảy ra $⇔x=y=2$
Vậy biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất bằng $2007$ tại $x=y=2$
