Có : $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{x+y+z}$
$\to \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{x+y+z}-\dfrac{1}{z}$
$\to \dfrac{x+y}{xy} = \dfrac{-(x+y)}{z.(x+y+z)}$
$\to (x+y).[z.(x+y+z)+xy] = 0 $
$\to (x+y).(y+z).(z+x) = 0 $
$\to$ Trong ba số $x,y,z$ luôn có hai số đối nhau.
Không mất tính tổng quát giả sử $x=-y$
Khi đó : $\dfrac{1}{x^{2019}} + \dfrac{1}{y^{2019}} + \dfrac{1}{z^{2019}} = \dfrac{1}{z^{2019}}$
Và $\dfrac{1}{x^{2019}+y^{2019}+z^{2019}} = \dfrac{1}{z^{2019}}$
Do đó : $\dfrac{1}{x^{2019}} + \dfrac{1}{y^{2019}} + \dfrac{1}{z^{2019}} = \dfrac{1}{x^{2019}+y^{2019}+z^{2019}} $
