Đáp án:
a. $m>3$
b. $1<m<3$
c.$m=5$
d. $m=∅$
e. $m⩽1$
Giải thích các bước giải:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} y=\frac{1}{3}( m-1) x³-( m-1) x²+( m-3) x+2.\\ Có\ y'=( m-1) x^{2} -2( m-1) x+( m-3) \ ( 1)\\ a.y'=0\\ Xét\ \Delta '=( m-1)^{2} -( m-1)( m-3)\\ =\ 2m-2\\ Để\ PT\ có\ \ 2\ nghiệm\ phân\ biệt\\ \Leftrightarrow \ 2m-2 >0\\ \Leftrightarrow m >1\\ Theo\ Viet:\ x_{1} +x_{2} =2;\ x_{1} x_{2} =\frac{m-3}{m-1}\\ Để\ 2\ nghiệm\ cùng\ dương\Leftrightarrow x_{1} +x_{2} >0\ và\ x_{1} x_{2} >0\\ \Leftrightarrow \frac{m-3}{m-1} >0\Leftrightarrow m >3\ ( TM) \ hoặc\ m< 1\ ( loại)\\ Vậy\ m >3\\ b.\ Để\ 2\ nghiệm\ trái\ dấu\\ \Leftrightarrow \frac{m-3}{m-1} < 0\\ \Leftrightarrow 1< m< 3\\ c.\ |x_{1} -x_{2} |=\sqrt{2}\\ \Leftrightarrow ( x_{1} -x_{2})^{2} =2\\ \Leftrightarrow x_{1}^{2} +x_{2}^{2} -2x_{1} x_{2} -2=0\\ \Leftrightarrow ( x_{1} +x_{2})^{2} -4x_{1} x_{2} -2=0\\ \Leftrightarrow 2^{2} -4.\frac{m-3}{m-1} -2=0\\ \Leftrightarrow \frac{m-3}{m-1} =\frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow 2m-6=m-1\\ \Leftrightarrow m=5\ ( TM)\\ d.\ y'\geqslant 0\\ Xét\ m=1,\ ( 1) \ trở\ thành-3< 0\\ \Rightarrow m\neq 1\\ Để\ y'\geqslant 0\forall x\in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \{_{\Delta '\leqslant 0}^{m-1 >0}\\ \Leftrightarrow m >1\ và\ m\leqslant 1\ ( vô\ lí)\\ Vậy\ m=\emptyset \\ e.\ Xét\ m=1,\ ( 1) \ trở\ thành-3< 0\\ \Rightarrow m=1\ thoả\ mãn\\ Xét\ m\neq 1,\ để\ y'\geqslant 0\forall x\in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \{_{\Delta '\leqslant 0}^{m-1< 0}\\ \Leftrightarrow m< 1\ và\ m\leqslant 1\ \\ Vậy\ m\leqslant 1 \end{array}$
