$x^2 = 2$
$\Rightarrow x = \pm \sqrt2$
Ta cần chứng minh $\pm \sqrt2$ là số vô tỉ.
Giả sử $\pm \sqrt2$ là số hữu tỉ
$\Rightarrow \sqrt2$ viết được dưới dạng $\dfrac{a}{b}$
Với $a,b \in \Bbb Z$ và $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản
$\Rightarrow \dfrac{a^2}{b^2} = 2$
$\Rightarrow a^2 = 2b^2$
$\Rightarrow a^2$ là số chẵn
$\Rightarrow a$ là số chẵn
$a$ có dạng $2k$
$\Rightarrow (2k)^2 = 2b^2$
$\Rightarrow 2k^2 = b^2$
$\Rightarrow b^2$ là số chẵn
$\Rightarrow b$ là số chẵn
$\Rightarrow a,b$ đều là số chẵn
$\Rightarrow \dfrac{a}{b}$ không phải là phân số tối giản
$\Rightarrow$ Mâu thuẫn với giả định ban đầu $\pm \sqrt2$ là số hữu tỉ
$\Rightarrow \pm \sqrt2$ là số vô tỉ
$\Rightarrow x \not\in \Bbb Q$
