1) Vì O và P cố định ==> độ dài đoạn OP không đổi . Ta đặt OP= 2a (a>0).
Tứ giác OHPK nội tiếp (vì tổng 2 góc đối diện bằng 180 độ ) đường tròn đường kính OP.
Gọi M là trung điểm OP ==>OM=MP=MH=MK=a/2
góc nội tiếp HOK = 60 độ (gt)==>góc ở tâm HMK= 120 độ .
Với I là trung điểm HK ==>góc HMI =60 độ
==>IH=MH.sin60 độ = (acăn3)/2
vậy HK = acăn3 (không đổi )
Mặt khác, góc AKB = góc AHB (cùng = 90 độ ) ==> tứ giác AHKB nội tiếp (vì 2 đỉnh H và K cùng nhìn AB dưới 1 góc vuông )đường kính AB, tâm là trung điểm N của AB .
mà góc OAK = 30 độ ( vì góc O = 60 độ và góc K vuông )là góc nội tiếp đường tròn (N)
==>góc ở tâm HNK = 60 độ
và NH =NK (bk (N))
==> tam giác NHK đều ==>HK = NH = NK =acăn3
==> AB = 2acăn3 (không đổi )
2)Do cmt , góc HMK = 120 độ
mà góc HNK = 60 độ
==>góc HMK +góc HNK = 180 độ
==> tứ giác HMKN nội tiếp ( tổng 2 góc đối bằng 180 độ )
3)Ta có OP cố định ==> trung điểm M của OP cố định
Vậy MI = MH. cosHMI = a. cos 60độ =a/2 không đổi
I cách M một khoảng a/2 không đổi nên I di động trên đường tròn tâm M bán kính a/2
