a) Vì đường tròn (O) và (O¢) tiếp xúcngoài tại A nên O, A và O’ thẳng hàng.
Trong đường tròn (O) ta có:
AB ⊥ DE tại K
=>KD = KE ( đường kính vuông góc với dây cung)
và KB = KC (gt)
Tứ giác BDCE là hình bình hành.
Lại có: BC ⊥ DE
Suy ra tứ giác BDCE là hình thoi.
b) Tam giác ABD nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên vuông tại D.
=>AD ⊥ BD
Tứ giác BDCE là hình thoi nên EC // BD
=> EC ⊥ AD (1)
Tam giác AIC nội tiếp trong đường tròn (O¢) có AC là đường kính nên vuông tại I.
=> AI ⊥ CE (2)
Từ (1) và (2)=> D, A, I thẳng hàng.
c) Tam giác DIE vuông tại I có
IK là trung tuyến thuộc cạnh huyền DE nên:
KI=KD=1/2ED ( tính chất tam giác vuông)
=> tam giác IKD cân tại K
=> ˆKID=ˆKDI hay ˆKIA=ˆKDA (3)
Ta có: O’A = O’I ( = R)
nên tam giác O’IA cân tại O’
=>ˆO′AI=ˆO′IA ( tính chất tam giác cân)
Mà: ˆO′AI=ˆKAD (đối đỉnh)
=> ˆO′IA=ˆKADO (4)
Từ (3) và (4) => ˆKIO′=90∘ hay KI ⊥ O’I tại I.
Vậy KI là tiếp tuyến của đường tròn (O’).
