Đáp án: $m=3+2\sqrt{3},\:m=\dfrac{2\sqrt{3}-3}{3}$
Giải thích các bước giải:
Để phương trình có nghiệm
$\to \Delta=(m+1)^2-4\cdot 2m\cdot 1\ge 0$
$\to m^2-6m+1\ge 0$
$\to (m-3)^2-8\ge 0$
$\to (m-3)^2\ge 8$
$\to m-3\ge \sqrt{8}$ hoặc $m-3\le -\sqrt{8}$
$\to m\le \:-2\sqrt{2}+3\quad \mathrm{hoặc}\quad \:m\ge \:2\sqrt{2}+3$
Gọi $x_1,x_2$ là nghiệm của phương trình
$\to x_1,x_2$ thỏa mãn
$\begin{cases}x_1+x_2=m+1\\x_1x_2=2m\end{cases}$
Lại có $x_1,x_2$ là độ dài $2$ cạnh góc vuông của $1$ tam giác vuông có một góc nhọn bằng $60^o$
$\to$Tam giác đó là nửa tam giác đều
$\to x_1>x_2>0, x_1=x_2\sqrt{3}$
$\to x_1+x_2=x_2\sqrt{3}+x_2$
$\to m+1=x_2(\sqrt{3}+1)$
$\to x_2=\dfrac{m+1}{\sqrt{3}+1}$
$\to x_1=\dfrac{m+1}{\sqrt{3}+1}\cdot \sqrt{3}$
$\to x_1x_2=\dfrac{m+1}{\sqrt{3}+1}\cdot \dfrac{m+1}{\sqrt{3}+1}\cdot\sqrt{3}$
$\to 2m=\dfrac{m+1}{\sqrt{3}+1}\cdot \dfrac{m+1}{\sqrt{3}+1}\cdot\sqrt{3}$
$\to 2\left(\sqrt{3}+1\right)^2m=\sqrt{3}\left(m+1\right)^2$
$\to \sqrt{3}m^2-\left(2\sqrt{3}+8\right)m+\sqrt{3}=0$
$\to m=3+2\sqrt{3},\:m=\dfrac{2\sqrt{3}-3}{3}$
