Ta có
Tích $ab$ là số lẻ $\Leftrightarrow$ $a$ và $b$ là số lẻ.
"$\Leftarrow$" Giả sử $a$ và $b$ là số lẻ. Do đó $a = 2n + 1$ và $b = 2m + 1$ với $m, n \in \mathbb{N}$.
Khi đó
$ab = (2n+1)(2m+1) = 4mn + 2m + 2n + 1 = 2(2mn + m + n) + 1$
Dễ thấy rằng $2(2mn + m + n) + 1$ là một số lẻ.
Vậy $ab $ là số lẻ.
"$\Rightarrow$" Giả sử $ab$ là số lẻ. Ta sẽ cminh $a$ và $b$ là số lẻ.
Thật vậy, giả sử phản chứng rằng $a$ hoặc $b$ là số chẵn. Không mất tổng quát giả sử $a$ là số chẵn.
Khi đó $a = 2k$ với $k \in \mathbb{N}$.
Suy ra
$ab = 2kb$
Hiển nhiên $2kb$ là một số chẵn, do đó $ab$ là số chẵn (mâu thuẫn).
Vậy $a$ và $b$ phải là số lẻ.
