$\\$
Ta sẽ chứng minh BĐT `1/x + 1/y >= 4/(x+y) (∀ x,y>0)`
`<=> (x+y)/(xy) >= 4/(x+y)`
`<=> (x+y)^2>= 4xy`
`<=>x^2+2xy+y^2>= 4xy`
`<=> x^2-2xy+y^2>= 0`
`<=>(x-y)^2>=0` (Luôn đúng)
Dấu "`=`" xảy ra khi : `(x-y)^2=0<=>x=y`
Ta chứng minh : `(x+y)^2>= 4xy`
`<=> x^2+2xy+y^2>=4xy`
`<=> x^2-2xy+y^2>=0`
`<=> (x-y)^2>=0`
Dấu "`=`" xảy ra khi : `(x-y)^2=0<=>x=y`
Trở lại bài :
`A=1/(1+3ab+a^2)+1/(1+3ab+b^2)`
Áp dụng BĐT `1/x+1/y >= 4/(x+y)(∀x,y>0)` ta được :
`A>= 4/(1+3ab+a^2+1+3ab+b^2)`
`=> A >= 4/(2 + 6ab + a^2 + b^2)`
`=>A >= 4/((a^2+2ab+b^2)+2+4ab)`
`=>A>=4/((a+b)^2+2+4ab)`
`=>A>= 4/(3 + 4ab)`
Áp dụng BĐT `(x+y)^2>= 4xy` ta được :
`4ab ≤ (a+b)^2 = 1`
`=> 4/(3+4ab) ≥ 4/(3+1)=1`
`=>A>= 1`
Dấu "`=`" xảy ra khi :
`a=b`
Mà `a+b=1`
`=>a=b=1/2`
Vậy `min A=1<=>a=b=1/2`
