Đáp án:
$+)$ Trước tiên, ta chứng minh BĐT với $x;y$ là số thực không âm
$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge \dfrac{4}{x+y}\qquad(*)$
$\to \dfrac{x+y}{xy}\ge \dfrac 4{x+y}$
$\to (x+y)^2\ge 4xy$
$\to x^2+y^2+2xy\ge 4xy$
$\to (x-y)^2\ge 0($ luôn đúng $)$
Áp dụng $(*),$ ta có:
$\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}\ge \dfrac{4}{a^2+b^2+2ab}=\dfrac{4}{(a+b)^2}=4$
$($ vì $a+b=1\to (a+b)^2=1)$
Dấu $"="$ xảy ra $↔a=b=\dfrac{1}{2}$
