Áp dụng bất đẳng thức $Cosi$ cho $2$ số thực dương ta có:
$a^2+b^2\ge2ab$
$b^2+c^2\ge2bc$
$c^2+a^2\ge2ca$
$\Rightarrow a^2+b^2+b^2+c^2+c^2+a^2\ge2ab+2bc+2ca$
$\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2(ab+bc+ca)$
$\Leftrightarrow2(a^2+b^2+c^2)\ge2ab+2bc+2ca$
$\Leftrightarrow3(a^2+b^2+c^2)\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$
$\Leftrightarrow3(a^2+b^2+c^2)\ge(a+b+c)^2$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{(a+b+c)^2}{3}$
$\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)^3\ge\dfrac{(a+b+c)^6}{3}(1)$
Áp dụng bất đẳng thức $Cosi$ cho $3$ số thực dương ta có:
$a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\sqrt[3]{1}=3$
$\Leftrightarrow(a+b+c)^5\ge3^5$
$\Leftrightarrow\dfrac{(a+b+c)^5}{3^3}\ge\dfrac{3^5}{3^3}$
$\Leftrightarrow\dfrac{(a+b+c)^6}{27}\ge9(a+b+c)(2)$
$\Leftrightarrow\dfrac{(a+b+c)^5}{27}\ge9(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra:
$(a^2+b^2+c^2)^3\ge9(a+b+c)$
