Đáp án:
Giải thích các bước giải: $a, b > 0$
$ a + \dfrac{1}{b} = 1 ⇔ \dfrac{1}{b} = 1 - a < 1 ⇔ b > 1 ⇔ b - 1 > 0$
Ta có $: (b - 2)² ≥ 0 ⇔ b² ≥ 4(b - 1) ⇔ \dfrac{b²}{b - 1} ≥ 4 (1)$
$ a + \dfrac{1}{b} = 1 ⇔ a = \dfrac{b - 1}{b} ⇔ \dfrac{1}{a} = \dfrac{b}{b - 1}$
$ ⇔ b + \dfrac{1}{a} = b + \dfrac{b}{b - 1} = \dfrac{b²}{b - 1} ≥ 4$
Dấu $'='$ xảy ra khi $: b - 2 = 0 ⇔ b = 2$
Áp dụng BĐT $: x² + y² ≥ \dfrac{1}{2}(x + y)²$ ta có:
$ (a + \dfrac{1}{a})² + (b + \dfrac{1}{b})² ≥ \dfrac{1}{2}[(a + \dfrac{1}{a}) + (b + \dfrac{1}{b})]² (2)$
$ = \dfrac{1}{2}[(a + \dfrac{1}{b}) + (b + \dfrac{1}{a})]² ≥ \dfrac{1}{2}(1 + 4)² ≥ \dfrac{25}{2}$
Dấu $'='$ xảy ra khi đồng thời xảy ra ở $(1) ⇔ b = 2$
và ở $(2) ⇔ a + \dfrac{1}{a} = b + \dfrac{1}{b} ⇔ a = \dfrac{1}{2}$
