Đáp án: $GTNN$ của $P = 17$ khi $x = y = 2$
Giải thích các bước giải:
$4xy ≤ (x + y)² ≤ 16 ⇒ xy ≤ 4 ⇔ 4 - xy ≥ 0; 8 - xy ≥ 4 > 0 $
$ 0 < x² + y² = (x + y)² - 2xy ≤ 16 - 2xy ⇒ \frac{2}{x² + y²} ≥ \frac{1}{8 - xy}$
Áp dụng BĐT cô si:
$\frac{2}{x² + y²} + \frac{8 - xy}{16} ≥ \frac{1}{8 - xy} + \frac{8 - xy}{16} ≥ 2\sqrt[]{(\frac{1}{8 - xy})(\frac{8 - xy}{16})} = \frac{1}{2} (1)$
Dấu = khi $ x = y$ và $\frac{1}{8 - xy} = \frac{8 - xy}{16} ⇔ (8 - xy)² = 16 ⇔ xy = 4$
$35(\frac{1}{xy} + \frac{xy}{16}) ≥ 35.2\sqrt[]{(\frac{1}{xy})(\frac{xy}{16})} = \frac{35}{2} (2)$
Dấu = khi $\frac{1}{xy} = \frac{xy}{16} ⇔ (xy)² = 16 ⇔ xy = 4$
$ 4 - xy ≥ 0 ⇔ \frac{2(4 - xy)}{16} - 1 ≥ - 1(3)$ (Dấu = khi $xy = 4$)
$(1) + (2) + (3):$
$\frac{2}{x² + y²} + \frac{8 - xy}{16} + 35(\frac{1}{xy} + \frac{xy}{16}) + \frac{2(4 - xy)}{16} - 1≥ \frac{1}{2} + \frac{35}{2} - 1$
$⇔ \frac{2}{x² + y²} + \frac{35}{xy} + 2xy ≥ 17 $
Vậy $GTNN$ của $P = 17$ khi đồng thời xảy ra dấu = ở $(1); (2); (3)$
$ ⇔ x = y ; xy = 4 ⇔ x = y = 2$
Cách khác:
$4xy ≤ (x + y)² ≤ 16 ⇒ xy ≤ 4 ⇔ 4 - xy ≥ 0; 8 - xy > 0 (*)$
$ 0 < x² + y² = (x + y)² - 2xy ≤ 16 - 2xy ⇒ \frac{2}{x² + y²} ≥ \frac{1}{8 - xy} (1)$
$P - 17 = \frac{2}{x² + y²} + \frac{35}{xy} + 2xy - 17 ≥ \frac{1}{8 - xy} + \frac{35}{xy} + 2xy - 17 = \frac{xy + 35(8 - xy) + xy(2xy - 17)(8 - xy)}{xy(8 - xy)} = \frac{ - 2x³y³ + 33x²y² - 170xy + 280}{xy(8 - xy)}= \frac{ - 2x³y³ + 33x²y² - 170xy + 280}{xy(8 - xy)} = \frac{(4 - xy)(2x²y² - 25xy + 70)}{xy(8 - xy)} = \frac{(4 - xy)[2(xy - 5)² + 5(4 - xy)]}{xy(8 - xy)} ≥ 0 (2) ⇒ P ≥ 17 $(theo $(*))$
Vậy $GTNN$ của $P = 17$ khi đồng thời xảy ra dấu = ở $(1); (2)$
$ (1) ⇔ x = y$ và $ (2) ⇔ xy = 4 ⇒ x = y = 2$
